Desenhe a curva da função dada.
Passo 1
O enunciado pede o esboço (gráfico) da função
Para desenhar a curva, precisamos determinar domínio, zeros, comportamento nas extremidades, derivadas (para monotonicidade e extremos locais) e concavidade (para pontos de inflexão).
Passo 2
Domínio: todos os reais, pois é polinomial.
Interceptos com o eixo achamos resolvendo
Interceptos com o eixo
logo
(multiplicidade
) e
. Em
e
,
.
Passo 3
Comportamento para
: o termo dominante é
, que tende a
. Portanto
Passo 4
Derivada primeira:
Solução de
:
e
.
- Para
, e . - Para
, ainda . - Para
, .
Conclusão:
é crescente em .
é decrescente em .
Ema derivada muda de positiva para positiva (ponto de inflexão estacionário).
Em, troca de crescente para decrescente máximo local
Passo 5
Derivada segunda:
Solução de
:
e
.
- Para
: (côncava para baixo). - Para
: (côncava para cima). - Para
: (côncava para baixo).
Eme temos pontos de inflexão. Em particular
Passo 6
Agora esboçamos conectando as informações:
Como
,
(côncava para baixo), sobe até passar por
num ponto de inflexão estacionário.
Entre
e
a curva é côncava para cima, atinge novo ponto de inflexão em
, depois fica côncava para baixo até
.
Em
, máximo local em
.
A partir de
, decresce, cruza o eixo em
e volta a
para
, sempre côncava para baixo.
Resposta
O gráfico de
tem:
Zeros em
e
.
Ponto de inflexão estacionário em
.
Ponto de inflexão em
.
Máximo local em
.
Para
,
.
A curva sobe de até
, muda de concavidade, faz outro inflexão em
, atinge um “topo” em
e depois desce cruzando em
até
.
A curva sobe de