Desenhe a curva da função dada.
f(x)=x^{3}-3 x^{4}

Passo 1

O enunciado pede o esboço (gráfico) da função
f(x)=x^3-3x^4.
Para desenhar a curva, precisamos determinar domínio, zeros, comportamento nas extremidades, derivadas (para monotonicidade e extremos locais) e concavidade (para pontos de inflexão).

Passo 2

Domínio: todos os reais, pois é polinomial.
Interceptos com o eixo x achamos resolvendo
x^3-3x^4=0\quad\Longrightarrow\quad x^3(1-3x)=0
logo x=0 (multiplicidade 3) e x=\tfrac13. Em x=0 e x=\tfrac13, f(x)=0.

Passo 3

Comportamento para x\to\pm\infty: o termo dominante é -3x^4, que tende a -\infty. Portanto
\lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty, \qquad \lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty.

Passo 4

Derivada primeira:
f'(x)=3x^2-12x^3=3x^2(1-4x).
Solução de f'(x)=0: x=0 e x=\tfrac14.
  • Para x<0, x^2>0 e 1-4x>0 \Rightarrow f'>0.
  • Para 0<x<\tfrac14, ainda f'>0.
  • Para x>\tfrac14, 1-4x<0 \Rightarrow f'<0.
    Conclusão:
    \bullet f é crescente em (-\infty,\tfrac14).
    \bullet f é decrescente em (\tfrac14,+\infty).
    Em x=0 a derivada muda de positiva para positiva (ponto de inflexão estacionário).
    Em x=\tfrac14, troca de crescente para decrescente \Rightarrow máximo local
f\bigl(\tfrac14\bigr)=\bigl(\tfrac14\bigr)^3-3\bigl(\tfrac14\bigr)^4 =\tfrac1{64}-3\cdot\tfrac1{256} =\tfrac{4-3}{256} =\tfrac1{256}.

Passo 5

Derivada segunda:
f''(x)=6x-36x^2=6x(1-6x).
Solução de f''(x)=0: x=0 e x=\tfrac16.
  • Para x<0: x<0 \Rightarrow f''<0 (côncava para baixo).
  • Para 0<x<\tfrac16: f''>0 (côncava para cima).
  • Para x>\tfrac16: f''<0 (côncava para baixo).
    Em x=0 e x=\tfrac16 temos pontos de inflexão. Em particular
f\bigl(\tfrac16\bigr) =\bigl(\tfrac16\bigr)^3 -3\bigl(\tfrac16\bigr)^4 =\tfrac1{216}-3\cdot\tfrac1{1296} =\tfrac6-3}{1296} =\tfrac3{1296} =\tfrac1{432}.

Passo 6

Agora esboçamos conectando as informações:
\bullet Como x\to-\infty, f\to-\infty (côncava para baixo), sobe até passar por (0,0) num ponto de inflexão estacionário.
\bullet Entre 0 e \tfrac16 a curva é côncava para cima, atinge novo ponto de inflexão em \bigl(\tfrac16,\tfrac1{432}\bigr), depois fica côncava para baixo até \tfrac14.
\bullet Em x=\tfrac14, máximo local em \bigl(\tfrac14,\tfrac1{256}\bigr).
\bullet A partir de \tfrac14, decresce, cruza o eixo em \bigl(\tfrac13,0\bigr) e volta a -\infty para x\to+\infty, sempre côncava para baixo.

Resposta

O gráfico de f(x)=x^3-3x^4 tem:
\bullet Zeros em (0,0) e (\tfrac13,0).
\bullet Ponto de inflexão estacionário em (0,0).
\bullet Ponto de inflexão em \bigl(\tfrac16,\tfrac1{432}\bigr).
\bullet Máximo local em \bigl(\tfrac14,\tfrac1{256}\bigr).
\bullet Para x\to\pm\infty, f(x)\to-\infty.
A curva sobe de -\infty até (0,0), muda de concavidade, faz outro inflexão em \tfrac16, atinge um “topo” em \tfrac14 e depois desce cruzando em \tfrac13 até -\infty.

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