Desenhe a curva da função dada.
f(x)=\frac{x+3}{x-5}

Passo 1

O enunciado pede para desenhar o gráfico da função racional
f(x)=\frac{x+3}{x-5}
O conteúdo é análise de funções racionais: vamos precisar encontrar domínio, interceptos, assíntotas e o comportamento em cada região para esboçar a curva.

Passo 2

Determinar o domínio e os interceptos com os eixos.
O domínio é dado por
x-5\neq0 \quad\Longrightarrow\quad x\neq5.
Para o intercepto em x (onde f(x)=0) basta resolver
x+3=0 \quad\Longrightarrow\quad x=-3,
logo o intercepto x é \bigl(-3,0\bigr).
Para o intercepto em y (tomando x=0):
f(0)=\frac{0+3}{0-5}=-\frac{3}{5},
logo o intercepto y é \bigl(0,-\tfrac{3}{5}\bigr).

Passo 3

Encontrar as assíntotas.
  1. Assíntota vertical: ocorre onde o denominador zera:
x-5=0 \quad\Longrightarrow\quad x=5.
  1. Assíntota horizontal: dividindo numerador por denominador,
\frac{x+3}{x-5} =1+\frac{8}{x-5},
logo à medida que \lvert x\rvert\to\infty, f(x)\to1. A assíntota horizontal é
y=1.

Passo 4

Estudar o comportamento da função em cada intervalo do domínio.
  1. Para x\to5^-, o termo \frac{8}{x-5}\to-\infty, então f(x)\to-\infty.
  2. Para x\to5^+, o termo \frac{8}{x-5}\to+\infty, então f(x)\to+\infty.
  3. Para x\to+\infty, \frac{8}{x-5}\to0^+, então f(x)\to1^+.
  4. Para x\to-\infty, \frac{8}{x-5}\to0^-, então f(x)\to1^-.

Passo 5

Esboçar a curva usando os dados:
  • Domínio: (-\infty,5)\cup(5,+\infty).
  • Interceptos: (-3,0) e \bigl(0,-\tfrac{3}{5}\bigr).
  • Assíntotas: vertical x=5 e horizontal y=1.
  • Em (-\infty,5): a curva parte de y\approx1^-, passa em (-3,0), em (0,-\tfrac{3}{5}) e cai para -\infty quando x\to5^-.
  • Em (5,+\infty): a curva sai de +\infty perto de x=5^+, passa acima de (6,9) por exemplo, e se aproxima de y=1^+ para x\to+\infty.

Resposta

O gráfico é uma hipérbole com duas ramificações, assíntotas em x=5 e y=1, que intercepta os eixos em (-3,0) e \bigl(0,-\tfrac{3}{5}\bigr), conforme descrito no esboço acima.

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