Desenhe a curva da função dada.
f(x)=(2 x-1)^{2}\left(x^{2}-9\right)

Passo 1

O enunciado pede para desenhar a curva da função
f(x) = (2x - 1)^{2}\,(x^{2} - 9).
O conteúdo principal é o estudo de uma função polinomial de grau 4: devemos identificar domínio, raízes (interseções com o eixo x), multiplicidades, comportamento em x\to\pm\infty, derivada para achar extremos e monotonicidade, e então esboçar o gráfico qualitativo.

Passo 2

Domínio e comportamento em x\to\pm\infty.
— Como é polinômio, o domínio é todo \mathbb{R}.
— Ao expandir, o termo de maior grau é
(2x)^{2}\cdot x^{2}=4x^{4},
com coeficiente positivo. Então
\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=+\infty.

Passo 3

Interseções com o eixo x e multiplicidades.
Resolvemos f(x)=0:
(2x-1)^{2}(x^{2}-9)=0
(2x-1)^{2}=0 x=\tfrac12 com multiplicidade 2 (toque na curva).
x^{2}-9=0 x=\pm3 com multiplicidade 1 (cruzamento).
Signo de f(x):
— Para x<-3: f>0.
— Entre -3 e +\tfrac12: f<0.
— Entre \tfrac12 e 3: f<0 (não muda pois \tfrac12 é raiz dupla).
— Para x>3: f>0.

Passo 4

Derivada e pontos críticos.
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl[(2x-1)^{2}(x^{2}-9)\bigr] =2\,(2x-1)\,\bigl(4x^{2}-x-18\bigr).
Zeramos:
2x-1=0\;\Rightarrow\;x=\tfrac12, \quad 4x^{2}-x-18=0\;\Rightarrow\;x=-2,\;x=\tfrac{9}{4}=2{,}25.

Passo 5

Monotonicidade e classificação de extremos.
Analisando o sinal de f':
x<-2: f'<0 decrescente.
— Entre -2 e \tfrac12: f'>0 crescente \Rightarrow mínimo em x=-2.
— Entre \tfrac12 e 2{,}25: f'<0 decrescente \Rightarrow máximo em x=\tfrac12.
— Para x>2{,}25: f'>0 crescente \Rightarrow mínimo em x=2{,}25.
Valores:
f(-2) = ( -5)^{2}\,(4-9)=25\cdot(-5)=-125,
f\bigl(\tfrac12\bigr)=0,
f(2{,}25)=(3{,}5)^{2}\bigl(5{,}0625-9\bigr)=12{,}25\cdot(-3{,}9375)\approx-48{,}78.

Passo 6

Esboço qualitativo do gráfico
1. Para x\to-\infty, f\to+\infty.
2. Cruzamento em (-3,0), passa de + para -.
3. Desce até mínimo em (-2,-125).
4. Sobe até tocar o eixo em \bigl(\tfrac12,0\bigr) (raiz dupla) e faz um “toque” (não troca de sinal).
5. Desce até \bigl(2{,}25,\,-48{,}78\bigr).
6. Sobe, cruza em (3,0) e vai para +\infty.
O gráfico é um “U” aberto à esquerda no infinito, cruza em -3, desce a um vale profundo em -2, sobe e “bate” no eixo em 0{,}5, volta a descer num vale menos profundo em 2{,}25, e então sobe de vez atravessando 3.

Resposta

Esboce um polinômio de grau 4 com:
– raízes em x=-3 (simples), x=\tfrac12 (dupla), x=3 (simples);
– mínimo global em (-2,-125);
– máximo local em \bigl(\tfrac12,0\bigr);
– mínimo local em \bigl(2{,}25,-48{,}78\bigr);
– comportamento \lim_{x\to\pm\infty}f(x)=+\infty. Desenhe conforme essas características.

Exercícios de Livros Relacionados