Desenhe a curva da função dada.
Passo 1
O enunciado pede para desenhar a curva da função
O conteúdo principal é o estudo de uma função polinomial de grau
: devemos identificar domínio, raízes (interseções com o eixo
), multiplicidades, comportamento em
, derivada para achar extremos e monotonicidade, e então esboçar o gráfico qualitativo.
Passo 2
Domínio e comportamento em
.
— Como é polinômio, o domínio é todo .
— Ao expandir, o termo de maior grau é
— Como é polinômio, o domínio é todo
— Ao expandir, o termo de maior grau é
com coeficiente positivo. Então
Passo 3
Interseções com o eixo
e multiplicidades.
Resolvemos :
Resolvemos
—
dá
com multiplicidade
(toque na curva).
— dá
com multiplicidade
(cruzamento).
Signo de :
— Para :
.
— Entre e
:
.
— Entre e
:
(não muda pois
é raiz dupla).
— Para :
.
—
Signo de
— Para
— Entre
— Entre
— Para
Passo 4
Derivada e pontos críticos.
Zeramos:
Passo 5
Monotonicidade e classificação de extremos.
Analisando o sinal de :
— :
decrescente.
— Entre e
:
crescente
mínimo em
.
— Entre e
:
decrescente
máximo em
.
— Para :
crescente
mínimo em
.
Analisando o sinal de
—
— Entre
— Entre
— Para
Valores:
Passo 6
Esboço qualitativo do gráfico
. Para
,
.
. Cruzamento em
, passa de
para
.
. Desce até mínimo em
.
. Sobe até tocar o eixo em
(raiz dupla) e faz um “toque” (não troca de sinal).
. Desce até
.
. Sobe, cruza em
e vai para
.
O gráfico é um “U” aberto à esquerda no infinito, cruza em
, desce a um vale profundo em
, sobe e “bate” no eixo em
, volta a descer num vale menos profundo em
, e então sobe de vez atravessando
.
Resposta
Esboce um polinômio de grau
com:
– raízes em (simples),
(dupla),
(simples);
– mínimo global em ;
– máximo local em ;
– mínimo local em ;
– comportamento . Desenhe conforme essas características.
– raízes em
– mínimo global em
– máximo local em
– mínimo local em
– comportamento