Verifique que a função definida por f(x)=3 x+1 é crescente em 7 .

Passo 1

O enunciado pede para verificar que a função
f(x)=3x+1
é crescente no ponto x=7.
O conteúdo da matéria é monotonicidade de funções e podemos usar o teste da derivada ou a definição de função crescente.

Passo 2

Calculamos a derivada de f. Como f é linear, vale
f'(x)=ddx(3x+1)=3

Passo 3

Avaliar a derivada em x=7:
f'(7)=3>0
Pelo teste da derivada, se f'(a)>0 então f é estritamente crescente numa vizinhança de a. Logo, f é crescente em x=7.

Passo 4

Para confirmar pela definição, seja h>0. Então
f(7+h)-f(7)=l(3(7+h)+1r)-l(3cdot7+1r)=3h>0,
e se h<0 temos f(7+h)-f(7)=3h<0. Isso mostra que sempre que x>7 então f(x)>f(7) e se x<7 então f(x)<f(7). Portanto, f é crescente em 7.

Resposta

A função f(x)=3x+1 é crescente em x=7 porque f'(7)=3>0 (ou, pela definição, f(7+h)-f(7)=3h>0 para h>0).

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