Desenvolver a função f(x)=\frac{\pi}{4}, no intervalo (0, \pi), em série de senos de arcos múltiplos. Empregar o desenvolvimento obtido para a soma das séries numéricas seguintes:
a) 1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\ldots;
b) 1+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}-\frac{1}{11}+\frac{1}{13}+\frac{1}{17}-\ldots;
c) 1-\frac{1}{5}+\frac{1}{7}-\frac{1}{11}+\frac{1}{13}-\ldots
Passo 1
O enunciado pede o desenvolvimento em série de senos de múltiplos de arco de
f(x)=\frac{\pi}{4},
definida em (0,\pi), ou seja, um desenvolvimento em série de Fourier apenas com termos \sin(nx). Depois vamos usar esse desenvolvimento para somar as séries numéricas de (a), (b) e (c).
Passo 2
Como f é função constante, seu coeficiente da série de senos é
Para (b) use x=\frac{\pi}{4}\). Como
\[\sin\bigl((2k+1)\tfrac{\pi}{4}\bigr) =\frac{\sqrt2}{2}\times \begin{cases} +1,&k\equiv0,1\pmod4,\\\\ -1,&k\equiv2,3\pmod4, \end{cases}
Para (c) use x=\frac{\pi}{3}\). Sabendo
\[\sin\bigl((2k+1)\tfrac{\pi}{3}\bigr) =\begin{cases} \frac{\sqrt3}{2},&(2k+1)\not\equiv0\pmod3,\\\\ 0,&(2k+1)\equiv0\pmod3, \end{cases}
e que o sinal alterna (+,-,+,-\dots], obtemos \frac{\pi}{4} =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{2k+1}\, \sin\bigl((2k+1)\tfrac{\pi}{3}\bigr) =\frac{\sqrt3}{2}\Bigl(1-\tfrac1{5}+\tfrac1{7}-\tfrac1{11}+\cdots\Bigr).
Logo 1-\frac{1}{5}+\frac{1}{7}-\frac{1}{11}+\cdots =\frac{\pi}{4}\,\frac{2}{\sqrt3} =\frac{\pi}{2\sqrt3}.