Desenvolver a função f(x)=\frac{\pi}{4}, no intervalo (0, \pi), em série de senos de arcos múltiplos. Empregar o desenvolvimento obtido para a soma das séries numéricas seguintes:
a) 1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\ldots;
b) 1+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}-\frac{1}{11}+\frac{1}{13}+\frac{1}{17}-\ldots;
c) 1-\frac{1}{5}+\frac{1}{7}-\frac{1}{11}+\frac{1}{13}-\ldots

Passo 1

O enunciado pede o desenvolvimento em série de senos de múltiplos de arco de
f(x)=\frac{\pi}{4},
definida em (0,\pi), ou seja, um desenvolvimento em série de Fourier apenas com termos \sin(nx). Depois vamos usar esse desenvolvimento para somar as séries numéricas de (a), (b) e (c).

Passo 2

Como f é função constante, seu coeficiente da série de senos é
b_n=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}f(x)\,\sin(nx)\,dx =\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}\frac{\pi}{4}\,\sin(nx)\,dx =\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}\sin(nx)\,dx.
Mas
\int_{0}^{\pi}\sin(nx)\,dx =\bigl[-\tfrac{1}{n}\cos(nx)\bigr]_{0}^{\pi} =\frac{1-(-1)^n}{n}.
Logo
b_n=\frac{1}{2}\,\frac{1-(-1)^n}{n} =\begin{cases} \frac{1}{n},&n\text{ ímpar},\\\\ 0,&n\text{ par}. \end{cases}í
Portanto a expansão de Fourier–seno é
\frac{\pi}{4} =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{2k+1}\,\sin\bigl((2k+1)x\bigr).

Passo 3

Para (a) note que, em x=\frac{\pi}{2},
\sin\bigl((2k+1)\tfrac{\pi}{2}\bigr)=(-1)^k,
então
\frac{\pi}{4} =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{2k+1}\,(-1)^k =1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots.

Passo 4

Para (b) use x=\frac{\pi}{4}\). Como \[\sin\bigl((2k+1)\tfrac{\pi}{4}\bigr) =\frac{\sqrt2}{2}\times \begin{cases} +1,&k\equiv0,1\pmod4,\\\\ -1,&k\equiv2,3\pmod4, \end{cases}
temos
\frac{\pi}{4} =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{2k+1}\, \frac{\sqrt2}{2}\,\epsilon_k, \quad\epsilon_k=\begin{cases}+1,&k=0,1,\\\ -1,&k=2,3,\end{cases}
repetindo esse ciclo de dois +1\] e dois \(-1. Multiplicando ambos os lados por 2/\sqrt2, vem
\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\epsilon_k}{2k+1} =\frac{\pi}{4}\,\frac{2}{\sqrt2} =\frac{\pi}{2\sqrt2},
que é exatamente a série
1+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}-\frac{1}{11}+\frac{1}{13}+\frac{1}{17}-\cdots.

Passo 5

Para (c) use x=\frac{\pi}{3}\). Sabendo \[\sin\bigl((2k+1)\tfrac{\pi}{3}\bigr) =\begin{cases} \frac{\sqrt3}{2},&(2k+1)\not\equiv0\pmod3,\\\\ 0,&(2k+1)\equiv0\pmod3, \end{cases}
e que o sinal alterna (+,-,+,-\dots], obtemos
\frac{\pi}{4} =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{2k+1}\, \sin\bigl((2k+1)\tfrac{\pi}{3}\bigr) =\frac{\sqrt3}{2}\Bigl(1-\tfrac1{5}+\tfrac1{7}-\tfrac1{11}+\cdots\Bigr).
Logo
1-\frac{1}{5}+\frac{1}{7}-\frac{1}{11}+\cdots =\frac{\pi}{4}\,\frac{2}{\sqrt3} =\frac{\pi}{2\sqrt3}.

Resposta

(a) \displaystyle \frac{\pi}{4}.
(b) \displaystyle \frac{\pi}{2\sqrt2}.
(c) \displaystyle \frac{\pi}{2\sqrt3}.

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