Desenvolver em série de Fourier a função f(x)=\frac{\pi-*}{2} no intervalo ( 0,2 \pi ).

Passo 1

O enunciado pede para desenvolver em série de Fourier a função
f(x)=\frac{\pi - x}{2}
definida no intervalo (0,2\pi) e estendida periodicamente com período 2\pi.
Conteúdo: séries de Fourier de funções periódicas de período 2\pi.
Vamos usar as fórmulas dos coeficientes
a_0=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}f(x)\,dx,\quad a_n=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}f(x)\cos(nx)\,dx,\quad b_n=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}f(x)\sin(nx)\,dx.

Passo 2

Calcular o coeficiente a_0:
a_0=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}\frac{\pi - x}{2}\,dx =\frac{1}{2\pi}\Bigl[\pi x-\frac{x^2}{2}\Bigr]_{0}^{2\pi} =\frac{1}{2\pi}\Bigl(2\pi^2-2\pi^2\Bigr)=0.

Passo 3

Calcular os coeficientes a_n. Como \pi-x em (0,2\pi) é função que, ao ser centrada em x=\pi, fica ímpar, toda integral contra \cos(nx) (função par em relação a \pi) anula-se. Logo
a_n=0\quad\text{para todo }n\ge1.

Passo 4

Calcular os coeficientes b_n:
b_n=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}\frac{\pi - x}{2}\sin(nx)\,dx =\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}(\pi - x)\sin(nx)\,dx.
Fazemos integração por partes em \displaystyle I=\int_{0}^{2\pi}(\pi - x)\sin(nx)\,dx.
Tomando u=\pi-x, dv=\sin(nx)\,dx \Rightarrow du=-dx, v=-\frac{\cos(nx)}{n}, obtemos
I=\Bigl[(\pi - x)\Bigl(-\frac{\cos(nx)}{n}\Bigr)\Bigr]_{0}^{2\pi} -\int_{0}^{2\pi}\Bigl(-\frac{\cos(nx)}{n}\Bigr)(-1)\,dx =\frac{2\pi}{n}\,,
pois o termo em \int\cos(nx)\,dx se anula nos extremos. Portanto
b_n=\frac{1}{2\pi}\,I=\frac{1}{2\pi}\cdot\frac{2\pi}{n}=\frac{1}{n}.

Passo 5

Juntando tudo, a série de Fourier de f(x) fica só com termos de seno:
f(x)\sim\sum_{n=1}^{\infty}b_n\sin(nx) =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\sin(nx).

Resposta

f(x)=\frac{\pi - x}{2}\quad\longleftrightarrow\quad \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\,\sin(nx).

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