Desenvolver em séries incompletas de Fourier, no intervalo (0, \pi ), as funções seguintes: a) em séries de senos de arcos múltiplos, b) em séries de cossenos de arcos múltiplos. Desenhar os gráficos das
funções e os gráficos das somas das séries correspondentes em seus campos de existência.
f(x)=x^{2}. Achar, através do desenvolvimento obtido, a soma das séries numéricas:
  1. 1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+\ldots;
  2. 1-\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}-\frac{1}{4^{2}}+\ldots

Passo 1

O enunciado pede o desenvolvimento de f(x)=x^2 no intervalo (0,\pi) em
  1. série de senos (extensão ímpar 2\pi-periódica),
  2. série de cossenos (extensão par 2\pi-periódica),
    além de desenhar qualitativamente o gráfico de f em (0,\pi) e os gráficos das somas das séries em seus intervalos de convergência. Por fim, usar o desenvolvimento em série de cossenos para obter
S_1 = 1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots, \quad S_2 = 1 - \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} - \frac{1}{4^2} + \cdots.

Passo 2

Série de senos: a extensão ímpar de x^2 no intervalo (-\pi,\pi) admite representação
x^2 = \sum_{n=1}^{\infty} B_n \,\sin(n x),
com
B_n = \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi} x^2\sin(n x)\,dx.
Fazendo integração por partes duas vezes obtém-se
\int_{0}^{\pi} x^2\sin(n x)\,dx = -\frac{\pi^2(-1)^n}{n} + \frac{2\bigl(1-(-1)^n\bigr)}{n^3},
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B_n = -\frac{2\pi(-1)^n}{n} +\frac{4\bigl(1-(-1)^n\bigr)}{\pi\,n^3}.
Portanto a série de senos é
x^2 =\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl[ -\tfrac{2\pi(-1)^n}{n} +\tfrac{4\bigl(1-(-1)^n\bigr)}{\pi\,n^3} \Bigr]\sin(n x).
Gráfico: em (0,\pi) f(x)=x^2 é a porção de parábola de vértice na origem. A soma da série estende essa curva de forma ímpar e periódica de período 2\pi, invertendo o ramo para x<0.

Passo 3

Série de cossenos: a extensão par de x^2 em (-\pi,\pi) admite
x^2 = \frac{a_0}{2} +\sum_{n=1}^{\infty} a_n\,\cos(n x),
com
a_0 = \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi} x^2\,dx = \frac{2\pi^2}{3}, \quad a_n = \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi} x^2\cos(n x)\,dx.
O cálculo por partes leva ao resultado clássico
a_n = \frac{4(-1)^n}{n^2}.
Logo
x^2 = \frac{\pi^2}{3} +4\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^2}\cos(n x).
Gráfico: em (0,\pi) é a mesma parábola; a soma da série a estende de forma par e periódica de período 2\pi, espelhando-a para x<0.

Passo 4

Usando a série de cossenos para obter as somas numéricas:
  1. Tomando x=\pi em
\pi^2 = \frac{\pi^2}{3} +4\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^2}\cos(n\pi) = \frac{\pi^2}{3} +4\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2},
segue
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2} =\frac{\pi^2 - \tfrac{\pi^2}{3}}{4} =\frac{\pi^2}{6}.
  1. Tomando x=0 em
0^2 = \frac{\pi^2}{3} +4\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^2},
segue
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^2} =-\frac{\pi^2}{12} \quad\Longrightarrow\quad \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n^2} =\frac{\pi^2}{12}.

Resposta

  1. \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}.
  2. \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n^2} = \frac{\pi^2}{12}.

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