Desenvolver em séries incompletas de Fourier, no intervalo (0,
), as funções seguintes: a) em séries de senos de arcos múltiplos, b) em séries de cossenos de arcos múltiplos. Desenhar os gráficos das
funções e os gráficos das somas das séries correspondentes em seus campos de existência.
. Achar, através do desenvolvimento obtido, a soma das séries numéricas:
-
;
-
funções e os gráficos das somas das séries correspondentes em seus campos de existência.
Passo 1
O enunciado pede o desenvolvimento de
no intervalo
em
- série de senos (extensão ímpar
-periódica), - série de cossenos (extensão par
-periódica),
além de desenhar qualitativamente o gráfico deem e os gráficos das somas das séries em seus intervalos de convergência. Por fim, usar o desenvolvimento em série de cossenos para obter
Passo 2
Série de senos: a extensão ímpar de
no intervalo
admite representação
com
Fazendo integração por partes duas vezes obtém-se
logo
Portanto a série de senos é
Gráfico: em
é a porção de parábola de vértice na origem. A soma da série estende essa curva de forma ímpar e periódica de período
, invertendo o ramo para
.
Passo 3
Série de cossenos: a extensão par de
em
admite
com
O cálculo por partes leva ao resultado clássico
Logo
Gráfico: em
é a mesma parábola; a soma da série a estende de forma par e periódica de período
, espelhando-a para
.
Passo 4
Usando a série de cossenos para obter as somas numéricas:
- Tomando
em
segue
- Tomando
em
segue