No desenvolvimento do binômio (a+b)^n+5, ordenado segundo as potências decrescentes de a, o quociente entre o termo que ocupa a ( n+3 )-ésima posição por aquele que ocupa a(n+1)-ésima é 2 b^23 a^2, isto é: Tn+3Tn+1=2 b^23 a^2. Determine o valor de n.

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos expandir (a+b)^n+5 em potências decrescentes de a e sabemos que o quociente entre o termo na posição (n+3) e o termo na posição (n+1) é
Tn+3Tn+1=2,b^23,a^2
O conteúdo principal é o Teorema Binomial, que nos dá a forma do termo geral dessa expansão. Nosso objetivo é encontrar n.

Passo 2

Pelo Teorema Binomial, o k-ésimo termo da expansão de (a+b)^n+5 em potências decrescentes de a é
Tk ;=;binomn+5k-1,a^(n+5)-(k-1),b^,k-1 ;=;binomn+5k-1,a^,n+6-k,b^,k-1

Passo 3

Substituindo k=n+3 e k=n+1, obtemos
Tn+3 =binomn+5n+2,a^3,b^,n+2, Tn+1 =binomn+5n,a^5,b^,n

Passo 4

Calculamos o quociente
Tn+3Tn+1 =binomn+5n+2binomn+5n ;a^3,b^,n+2a^5,b^,n =binomn+5n+2binomn+5n ;b^2a^2
Agora simplificamos a razão dos coeficientes binomiais:
binomn+5n+2binomn+5n =binomn+53binomn+55 =tfrac(n+5)!3!,(n+2)!tfrac(n+5)!5!,n! =5!,n!3!,(n+2)! =1206,(n+2)(n+1) =20(n+2)(n+1)

Passo 5

Igualando ao valor dado,
20(n+2)(n+1);b^2a^2 =2,b^23,a^2,
cancelamos tfracb^2a^2 e obtemos
20(n+2)(n+1)=23 Longrightarrow 20cdot3=2,(n+2)(n+1) Longrightarrow (n+2)(n+1)=30
Isso leva à equação
n^2+3n-28=0 Longrightarrow n=4;ou;n=-7
Como n é um expoente inteiro não-negativo, concluímos
n=4

Resposta

n=4

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