Qual o termo independente de x no desenvolvimento de (-x+raiz2x)^8 ?

Passo 1

O enunciado pede o termo independente de x em
gl(-x+raiz2xgr)^8
Para isso, vamos aplicar o Teorema Binomial e encontrar o termo em que a potência de x se anula.

Passo 2

Pelo Teorema Binomial, o termo geral na expansão de l(a+br)^n é
Tk ;=;binomnk,a^,n-k,b^,k
Aqui temos a=-x, b=tfracraiz2x e n=8. Logo
Tk =binom8k,(-x)^8-k(raiz2x)^k

Passo 3

Para que Tk seja independente de x, o expoente total de x deve ser zero.
No fator (-x)^8-k temos x^,8-k e em l(tfracraiz2xr)^k temos x^-k.
Então o expoente é (8-k)-k=8-2k, e impõe-se
8-2k=0 Longrightarrow k=4

Passo 4

Substituindo k=4 em Tk:
T4 =binom84,(-x)^4(raiz2x)^4
Como (-x)^4=x^4 e (raiz2)^4=4, resulta
T4 =binom84,x^4,4x^4 =70cdot4 =280

Resposta

280

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