Seja N o conjunto dos números inteiros positivos. Determine o conjunto de todos os n in N, n>2, para os quais binomn3=binomn-13+binomn-12.

Passo 1

O enunciado pede para achar todos os ninN, com n>2, tais que
binomn3 = binomn-13 + binomn-12
O conteúdo aqui é a definição de coeficiente binomial em termos de fatoriais e a famosa identidade de Pascal:
binomnk = binomn-1k + binomn-1k-1

Passo 2

Vamos escrever cada binomial pela definição
binomn3 = n!3!,(n-3)!, binomn-13 = (n-1)!3!,(n-4)!, binomn-12 = (n-1)!2!,(n-3)!

Passo 3

Compute-se a soma no lado direito:
binomn-13 + binomn-12 = (n-1)!3!,(n-4)! ;+;(n-1)!2!,(n-3)!
Para somar, coloque sobre o mesmo denominador 3!,(n-3)!:
(n-1)!3!,(n-4)! = (n-1)!,(n-3)3!,(n-3)!,
(n-1)!2!,(n-3)! = (n-1)!,l(3!r)3!,(n-3)!
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binomn-13 + binomn-12 = (n-1)!,l((n-3)+3!r)3!,(n-3)! = (n-1)!,l((n-3)+6r)3!,(n-3)!
Como (n-3)+6 = n+3, na verdade notamos que o mais direto é usar Pascal com k=3, que já diz
binomn3 = binomn-13 + binomn-12
E esta identidade vale para todo n>=3.

Passo 4

Concluímos que a igualdade
binomn3 = binomn-13 + binomn-12
é exatamente a identidade de Pascal para k=3 e vale para todo n>2.

Resposta

O conjunto procurado é
,ninNmid n>2 = 3,4,5,dots

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