Determinar os quatro primeiros têrmos que não se anulam das séries de Taylor das seguintes funções, na vizinlança de x=0 :
. e^sen x.

Passo 1

O enunciado pede a série de Taylor (Maclaurin) de f(x)=e^sin x em torno de x=0 e quer os quatro primeiros termos não nulos. Vamos usar:
  1. A expansão de sin x em torno de 0.
  2. A série de e^u=sumk=0^inftydfracu^kk!, substituindo u=sin x.

Passo 2

Escrevemos a série de sin x até termos de ordem relevante (até x^5, pois precisamos pelo menos até o quarto termo não nulo):
sin x = x - x^36 + x^5120 + O(x^7)

Passo 3

Substituímos em
e^sin x = sumk=0^infty (sin x)^kk!
e expandimos termo a termo até ver os primeiros quatro coeficientes não nulos.

Passo 4

Calculamos os contribuições até ordem x^5:
k=0:& 1, k=1:& sin x = x - x^36 + x^5120, k=2:& (sin x)^22! = 12l(x^2 - x^43r), k=3:& (sin x)^33! = 16l(x^3 + 3l(-tfrac16r)x^5r) = x^36 - x^512, k=4:& (sin x)^44! = 124,x^4 + O(x^6), k=5:& (sin x)^55! = x^5120 + O(x^7)

Passo 5

Somando os coeficientes por potência de x:
constante:&;1, x^1:&;1, x^2:&;tfrac12, x^3:&;-,tfrac16 + tfrac16 = 0, x^4:&;-,tfrac16 + tfrac124 = -tfrac18, x^5:&;tfrac1120 - tfrac112 + tfrac1120 = -tfrac115
Os quatro primeiros termos não nulos correspondem, em ordem crescente de grau, a x^0,x^1,x^2,x^4.

Resposta

Os quatro primeiros termos que não se anulam são
1, x, x^22, -x^48

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