- Se
, provar as relaçũes
(a)
.
(b)
.
(c)
.
(a)
(b)
(c)
Passo 1
O enunciado define os polinômios de Legendre pela fórmula de Rodrigues
Precisamos usar a regra de Leibniz para derivar produtos e, em seguida, relacionar derivadas de ordens diversas de
com
,
e
.
Passo 2
Prova de
Partimos de
e escrevemos
.
Aplicando Leibniz para a derivada de ordem desse produto, só há contribuições de até a segunda derivada de
. Após agrupar termos, obtemos
Aplicando Leibniz para a derivada de ordem
Dividindo por
e reconhecendo
resulta exatamente a relação desejada.
Passo 3
Prova de
Da relação do Passo
sabemos
Se agora usarmos a equação diferencial que vamos provar no Passo
, a saber
então
e substituindo na fórmula acima obtemos depois de simplificar
Passo 4
Prova de
A expressão à esquerda é
Para mostrá-la nula, basta comparar a fórmula do Passo
com
e a do Passo
com
. Ao igualar termos e rearranjar, chega-se à identidade
que é exatamente
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)