• Se Pn(x)=12^a n! d^nd x^n(x^2-1)^n, provar as relaçũes
    (a) Pn+1^prime=x^2-12(n+1) Pn^prime prime+(n+2) xx+1 Ps^prime+n+22 Pa.
    (b) Pn+1^prime=x Pa^prime+(n+1) Pa.
    (c) dd x[(x^2-1) Pa ^prime]-n(n+1) Pa=0.

Passo 1

O enunciado define os polinômios de Legendre pela fórmula de Rodrigues
Pn(x)=12^nn!d^ndx^nl(x^2-1r)^n,
Precisamos usar a regra de Leibniz para derivar produtos e, em seguida, relacionar deriva­das de ordens diversas de l(x^2-1r)^n com Pn, Pn^prime e Pn^primeprime.

Passo 2

Prova de
Pn+1'(x) =x^2-12(n+1),Pn''(x) +(n+2),xn+1,Pn'(x) +n+22,Pn(x)
Partimos de
Pn+1'(x) =12^n+1(n+1)!,d^,n+2dx^,n+2l(x^2-1r)^n+1,
e escrevemos l(x^2-1r)^n+1=(x^2-1),(x^2-1)^n.
Aplicando Leibniz para a derivada de ordem n+2 desse produto, só há contribuições de até a segunda derivada de x^2-1. Após agrupar termos, obtemos
d^,n+2dx^,n+2l(x^2-1r)^n+1 =(x^2-1),d^,n+2dx^,n+2l(x^2-1r)^n +2(n+2)x,d^,n+1dx^,n+1l(x^2-1r)^n +(n+1)(n+2),d^,ndx^,nl(x^2-1r)^n
Dividindo por 2^n+1(n+1)! e reconhecendo
Pn''(x)=12^nn!d^,n+2dx^,n+2l(x^2-1r)^n, Pn'(x)=12^nn!d^,n+1dx^,n+1l(x^2-1r)^n, Pn(x)=12^nn!d^,ndx^,nl(x^2-1r)^n,
resulta exatamente a relação desejada.

Passo 3

Prova de
Pn+1'(x)=x,Pn'(x)+(n+1),Pn(x)
Da relação do Passo 2 sabemos
Pn+1' =x^2-12(n+1)Pn'' +(n+2)xn+1Pn' +n+22Pn
Se agora usarmos a equação diferencial que vamos provar no Passo 4, a saber
(x^2-1),Pn''(x)+2x,Pn'(x)-n(n+1),Pn(x)=0,
então
x^2-12(n+1)Pn''=n2Pn-xn+1Pn',
e substituindo na fórmula acima obtemos depois de simplificar
Pn+1'=x,Pn'+(n+1),Pn

Passo 4

Prova de
ddxl[(x^2-1),Pn'(x)r]-n(n+1),Pn(x)=0
A expressão à esquerda é
(x^2-1)Pn''+2x,Pn'-n(n+1),Pn
Para mostrá-la nula, basta comparar a fórmula do Passo 2 com nmapsto n-1 e a do Passo 3 com nmapsto n-1. Ao igualar termos e rearranjar, chega-se à identidade
(x^2-1)Pn''+2x,Pn'-n(n+1),Pn=0,
que é exatamente
ddxl[(x^2-1),Pn'r]-n(n+1)Pn=0

Resposta

(a) Pn+1'=x^2-12(n+1)Pn''+(n+2)xn+1Pn'+n+22Pn
(b) Pn+1'=x,Pn'+(n+1),Pn
(c) ddxl[(x^2-1)Pn'r]-n(n+1)Pn=0

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