Determinar os algarismos x e y de modo que o inteiro:
5 x 2 y seja divisível por 15 .

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os dígitos x e y de modo que o número inteiro de quatro algarismos
5x2y
seja divisível por 15. Vamos usar as regras de divisibilidade por 5 e por 3, pois um número é divisível por 15 se, e somente se, for simultaneamente divisível por 3 e por 5.

Passo 2

Regra da divisibilidade por 5: um número inteiro é divisível por 5 exatamente quando seu algarismo das unidades é 0 ou 5.
Logo, para 5x2y ser divisível por 5, devemos ter
y in 0,,5

Passo 3

Regra da divisibilidade por 3: um número é divisível por 3 se, e somente se, a soma de seus dígitos for múltipla de 3.
A soma dos dígitos de 5x2y é
5 + x + 2 + y = x + y + 7
Portanto, precisamos de
x + y + 7 equiv 0 pmod3,
ou seja,
x + y equiv 2 pmod3

Passo 4

Agora analisamos os dois casos para y:
  1. Se y = 0, a condição x + y equiv 2 pmod3 vira
    x equiv 2 pmod3,
    cujas soluções entre 0 e 9 são
    x in 2,,5,,8
  2. Se y = 5, a condição x + y equiv 2 pmod3 vira
    x + 5 equiv 2 pmod3 Longrightarrow x equiv 0 pmod3,
    cujas soluções entre 0 e 9 são
    x in 0,,3,,6,,9

Passo 5

Reunindo, os pares (x,y) possíveis são:
  • Para y=0: (x,y) = (2,0), (5,0), (8,0).
  • Para y=5: (x,y) = (0,5), (3,5), (6,5), (9,5).

Resposta

(x,y)in(2,0),,(5,0),,(8,0),,(0,5),,(3,5),,(6,5),,(9,5).

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