Determinar o centro de massa de uma placa delgada com a forma de rectângulo A B C D, se a densidade em cada ponto é igual ao produto das distâncias do ponto aos dois lados conscutivos A B e A D.

Passo 1

O enunciado pede o centro de massa de uma lâmina retangular ABCD cuja densidade em cada ponto é igual ao produto das distâncias aos lados consecutivos AB e AD. O conteúdo principal é cálculo de centro de massa de uma região plana com densidade variável, usando as fórmulas
bar x = 1Mintegral duplaR x,rho(x,y),dA,
bar y = 1Mintegral duplaR y,rho(x,y),dA,
M = integral duplaR rho(x,y),dA

Passo 2

Escolhemos o vértice A como a origem (0,0), o lado AB sobre o eixo x de comprimento a e AD sobre o eixo y de comprimento b. Assim
R = (x,y)mid 0 <= x <= a,;0 <= y <= b,
e a densidade é
rho(x,y)=l(distância a ABr)timesl(distância a ADr)=ycdot x = x,y ââ

Passo 3

Calculamos a massa total
M = integral duplaR x,y,dA = integral0^aintegral0^b x,y,dy,dx = integral0^a xl[tfracy^22r]0^bdx = integral0^a xcdotb^22,dx = b^22,l[tfracx^22r]0^a = a^2b^24

Passo 4

Calculamos os momentos necessários:
integral duplaR x,rho(x,y),dA = integral0^aintegral0^b x^2y,dy,dx = integral0^a x^2l[tfracy^22r]0^bdx = b^22integral0^a x^2,dx = b^22cdota^33 = a^3b^26,
integral duplaR y,rho(x,y),dA = integral0^aintegral0^b x,y^2,dy,dx = integral0^a xl[tfracy^33r]0^bdx = b^33integral0^a x,dx = b^33cdota^22 = a^2b^36

Passo 5

As coordenadas do centro de massa são
bar x = 1Mintegral duplaR x,rho,dA = tfraca^3b^26tfraca^2b^24 = a6cdot41 = 2a3,
bar y = 1Mintegral duplaR y,rho,dA = tfraca^2b^36tfraca^2b^24 = b6cdot41 = 2b3

Resposta

O centro de massa da placa está em
l(bar x,bar yr)=l(tfrac2a3,,tfrac2b3r)

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