Determinar quais das funçös seguintes sãu continuas. Establecer us pontos de descontinuidade para as descontínuas.
J(x)=lim n infty[lim m infty(cos pi n!x)^2 infty].

Passo 1

O enunciado define a função
J(x) ;=;limntoinftyl[limmtoinfty(cos(pi,n!,x))^2mr]
e pede para verificar onde ela é contínua. Vamos usar teoria de limites pontuais e noções de racionalidade versus irracionalidade para obter a forma explícita de J(x) e então analisar continuidade.

Passo 2

Para cada n fixo, considere
Ln(x)=limmtoinfty(cos(pi,n!,x))^2m
Se lvertcos(pi,n!,x)rvert<1, então
(cos(pi,n!,x))^2mto 0(mtoinfty)
Se lvertcos(pi,n!,x)rvert=1, isto é, cos(pi,n!,x)=pm1, então
(cos(pi,n!,x))^2m=1forall m,
logo o limite vale 1.

Passo 3

A condição
Assim
á
E portanto
é igual a , todos os forem inteiros; caso contrário vale .

Passo 4

Mostra-se que n!,xinZ para todo n suficientemente grande se e só se x é racional, digamos x=p/q em forma irredutível: para n>= q o fatorial n! contém q como fator e n!xinZ. Se x é irracional, n!x nunca é inteiro. Logo
J(x)= 1,&xinQ, 0,&xnotinQ

Passo 5

Essa é precisamente a função de Dirichlet, conhecida por ser descontínua em todo ponto: em qualquer vizinhança de x há sequências de números racionais (onde J=1) e de irracionais (onde J=0), impedindo a convergência do valor de J ao valor em x.

Resposta

A função J(x) não é contínua em nenhum ponto de R.

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