Determinar quais das funçös seguintes sãu continuas. Establecer us pontos de descontinuidade para as descontínuas. .
Passo 1
O enunciado define a função
e pede para verificar onde ela é contínua. Vamos usar teoria de limites pontuais e noções de racionalidade versus irracionalidade para obter a forma explícita de e então analisar continuidade.
Passo 2
Para cada fixo, considere
Se , então
Se , isto é, , então
logo o limite vale .
Passo 3
A condição
Assim
E portanto
é igual a , todos os forem inteiros; caso contrário vale .
Passo 4
Mostra-se que n!,xinZ para todo n suficientemente grande se e só se x é racional, digamos x=p/q em forma irredutível: para n>= q o fatorial n! contém q como fator e n!xinZ. Se x é irracional, n!x nunca é inteiro. Logo
J(x)= 1,&xinQ, 0,&xnotinQ
Passo 5
Essa é precisamente a função de Dirichlet, conhecida por ser descontínua em todo ponto: em qualquer vizinhança de x há sequências de números racionais (onde J=1) e de irracionais (onde J=0), impedindo a convergência do valor de J ao valor em x.
Resposta
A função J(x) não é contínua em nenhum ponto de R.
Cálculo - Richard Courant - Cálculo 1 - 1ª Edição - Capítulo Exemplos Diversos.Exemplos Diversos - Ex. 40.d