Demonstrar as desigualdades seguintes:
.
Passo 1
O enunciado pede que demonstremos a desigualdade
válida para todo
. O conteúdo da matéria envolve usar derivadas para estudar monotonicidade de funções. Vamos definir uma função cuja positividade implique a desigualdade e então mostrar que ela é crescente.
Passo 2
Definimos
Observamos que
Logo, provar
equivale a mostrar
para
. Para isso, estudamos a derivada
Chamando
vemos que
.
Passo 3
Agora calculamos
Para
sabemos que
(pois a exponencial é convexa e sua reta tangente em 0 é
), logo
Assim
em
, ou seja,
é estritamente crescente e portanto
Passo 4
Como
para
, a função
é estritamente crescente em
. Desta forma
o que é exatamente
para todo
.