Demonstrar as desigualdades seguintes:
e^x>1+(1+x) log (1+x), x>0.

Passo 1

O enunciado pede que demonstremos a desigualdade
e^x > 1 + (1+x)ln(1+x),
válida para todo x>0. O conteúdo da matéria envolve usar derivadas para estudar monotonicidade de funções. Vamos definir uma função cuja positividade implique a desigualdade e então mostrar que ela é crescente.

Passo 2

Definimos
F(x) = e^x ;-; 1 ;-; (1+x),ln(1+x)
Observamos que
F(0)=e^0 -1 - (1+0)ln(1+0)=1-1-1cdot0=0
Logo, provar e^x > 1+(1+x)ln(1+x) equivale a mostrar F(x)>0 para x>0. Para isso, estudamos a derivada
F'(x)=ddxl(e^xr);-;ddxl[(1+x)ln(1+x)r] = e^x ;-;l[ln(1+x)+1r]
Chamando
G(x)=F'(x)=e^x -ln(1+x)-1,
vemos que G(0)=e^0-ln1-1=0.

Passo 3

Agora calculamos
G'(x)=ddxl(e^xr);-;ddxl[ln(1+x)r] = e^x ;-;11+x
Para x>0 sabemos que e^x>1+x (pois a exponencial é convexa e sua reta tangente em 0 é 1+x), logo
e^x > 1+x > 1 Longrightarrow e^x - 11+x > 1 - 11+x = x1+x > 0
Assim G'(x)>0 em (0,infty), ou seja, G é estritamente crescente e portanto
G(x)>G(0)=0 forall x>0

Passo 4

Como G(x)=F'(x)>0 para x>0, a função F é estritamente crescente em (0,infty). Desta forma
F(x)>F(0)=0 Longrightarrow e^x -1 - (1+x)ln(1+x)>0,
o que é exatamente
e^x > 1 + (1+x)ln(1+x),
para todo x>0.

Resposta

e^x > 1 + (1+x)ln(1+x), x>0

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