Determinar os quatro primeiros têrmos que não se anulam das séries de Taylor das seguintes funções, na vizinlança de
:
.
Passo 1
O enunciado pede os quatro primeiros termos não nulos da série de Taylor em torno de
da função
Para isso vamos usar duas ideias principais:
- expandir
em série de Maclaurin; - notar que
e usar a expansão binomial para
.
Passo 2
Começamos escrevendo a expansão de
até termos de ordem
:
Dividindo por
, obtemos
Definimos então
Passo 3
Queremos
. Usamos a série binomial para expoente
:
Basta calcular até termos de ordem
.
Passo 4
Substituindo
e coletando potências:
- termo em
: . - termo em
:
- termo em
: soma de
e , ou seja
- termo em
: soma de
, de e de . O resultado é