Determinar os quatro primeiros têrmos que não se anulam das séries de Taylor das seguintes funções, na vizinlança de x=0 :
raizsen xraizx.

Passo 1

O enunciado pede os quatro primeiros termos não nulos da série de Taylor em torno de x=0 da função
f(x)=raizsen xraizx
Para isso vamos usar duas ideias principais:
  1. expandir sen x em série de Maclaurin;
  2. notar que
f(x)=raizsen xx
e usar a expansão binomial para raiz1 + h(x).

Passo 2

Começamos escrevendo a expansão de sen x até termos de ordem x^8:
sen x = x - x^36 + x^5120 - x^75040 + O(x^9)
Dividindo por x, obtemos
sen xx =1 - x^26 + x^4120 - x^65040 + O(x^8)
Definimos então
g(x)=sen xx=1 + h(x), h(x)=-x^26 + x^4120 - x^65040 + O(x^8)

Passo 3

Queremos raizg(x)=raiz1 + h(x). Usamos a série binomial para expoente 1/2:
raiz1 + h =1 + 12,h - 18,h^2 + 116,h^3 - 5128,h^4 + cdots
Basta calcular até termos de ordem x^6.

Passo 4

Substituindo h(x) e coletando potências:
  1. termo em x^0: 1.
  2. termo em x^2:
12l(-x^26r) =-x^212
  1. termo em x^4: soma de
    tfrac12cdottfracx^4120 e -tfrac18l(-tfracx^26r)^2, ou seja
x^4240-x^4288 =x^41440
  1. termo em x^6: soma de
    tfrac12cdotl(-tfracx^65040r), de -tfrac18cdot2l(-tfracx^26r)l(tfracx^4120r) e de tfrac116l(-tfracx^26r)^3. O resultado é
-x^610080 +x^62880 -x^63456 =-x^624192

Resposta

raizsen xraizx =1 ;-;x^212;+;x^41440;-;x^624192 +cdots

Exercícios de Livros Relacionados