Mostrar que a tangente à hipérbole tem a mesma incliuação sôbre os raios focais tirados pelo ponto de contacto.

Passo 1

Vamos usar a definição da hipérbole como lugar geométrico dos pontos P=(x,y) tais que
d1 - d2 = 2a,
onde
d1 = raiz(x - c)^2 + y^2 e d2 = raiz(x + c)^2 + y^2
são as distâncias de P aos focos F1=(c,0) e F2=(-c,0). Nosso objetivo é mostrar que, no ponto de contato P, a reta tangente faz o mesmo ângulo com as retas PF1 e PF2.

Passo 2

Definimos a função
F(x,y) = d1 - d2
Na curva F(x,y)=2a, o vetor gradiente
nabla F = l(partial Fpartial x,,partial Fpartial yr)
é normal à hipérbole. Calculamos
partial d1partial x = x - cd1, partial d1partial y = yd1,
partial d2partial x = x + cd2, partial d2partial y = yd2
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nabla F = l(x - cd1 - x + cd2,; yd1 - yd2r) = u1 - u2,
onde
u1 = (x - c,,y)d1, u2 = (x + c,,y)d2
são vetores unitários na direção de F1P e F2P.

Passo 3

A reta tangente à hipérbole em P é ortogonal ao normal nabla F. Seja T um vetor diretor da tangente, então
T,cdot,nabla F ;=;0 ;Longrightarrow; T,cdot,(u1 - u2)=0 ;Longrightarrow; T,cdot,u1 ;=;T,cdot,u2

Passo 4

Chamemos theta1 o ângulo entre T e a reta PF1, e theta2 o ângulo entre T e PF2. Como u1 e u2 são vetores unitários nessas direções, temos
T,cdot,ui = |T|cos(thetai), i=1,2
Da igualdade Tcdotu1=Tcdotu2 segue
|T|cos(theta1) =|T|cos(theta2) Longrightarrow cos(theta1)=cos(theta2) Longrightarrow theta1=theta2

Resposta

A reta tangente à hipérbole faz, de fato, o mesmo ângulo com cada um dos raios focais PF1 e PF2.

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