Mostrar que a tangente à hipérbole tem a mesma incliuação sôbre os raios focais tirados pelo ponto de contacto.
Passo 1
Vamos usar a definição da hipérbole como lugar geométrico dos pontos
tais que
onde
são as distâncias de
aos focos
e
. Nosso objetivo é mostrar que, no ponto de contato
, a reta tangente faz o mesmo ângulo com as retas
e
.
Passo 2
Definimos a função
Na curva
, o vetor gradiente
é normal à hipérbole. Calculamos
Logo
onde
são vetores unitários na direção de
e
.
Passo 3
A reta tangente à hipérbole em
é ortogonal ao normal
. Seja
um vetor diretor da tangente, então
Passo 4
Chamemos
o ângulo entre
e a reta
, e
o ângulo entre
e
. Como
e
são vetores unitários nessas direções, temos
Da igualdade
segue
Resposta
A reta tangente à hipérbole faz, de fato, o mesmo ângulo com cada um dos raios focais
e
.