Determinar uma expressão aproximada para log n1!n2!ldots nl!n!, onde n1+n2+ldots+nl=n.

Passo 1

O enunciado pede uma aproximação para
ln n1!,n2!,cdots,nl!n!,
sujeito a n1+cdots+nl=n.
O conteúdo principal é a fórmula de Stirling para fatoriais grandes, que diz
ln k! approx kln k - k + tfrac12lnl(2pi kr)

Passo 2

Escrevemos primeiro a expressão em termos de somas de logaritmos:
ln n1!,cdots,nl!n! =sumi=1^llnl(ni!r);-;lnl(n!r)

Passo 3

Aplicando Stirling em cada termo, temos
lnl(ni!r)approx niln ni-ni+tfrac12lnl(2pi nir), lnl(n!r)approx nln n - n + tfrac12lnl(2pi nr)

Passo 4

Substituindo na soma e usando sumini=n, obtemos
ln prodini!n! &approx sumi=1^ll(niln ni-ni+tfrac12ln(2pi ni)r) -l(nln n - n + tfrac12ln(2pi n)r) &= sumi=1^lniln ni;-;nln n ;+;tfrac12l(sumi=1^lln ni-ln nr) ;+;tfracl-12ln(2pi)

Passo 5

Podemos ainda introduzir pi=ni/n para destacar o termo dominante:
sumi=1^lniln ni-nln n = nsumi=1^lpiln pi

Resposta

ln n1!,cdots,nl!n! approx underbracensumi=1^lpiln pitermo principal ;+;tfrac12l(sumi=1^lln ni-ln nr) ;+;tfracl-12ln(2pi),
onde pi=ni/n.

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