Desenhar as seguintes curvas, estabelecendo as suas equações não paramétricas:
x=a t+b \operatorname{sen} t, y=a-b \cos t

Passo 1

O enunciado nos dá as curvas paramétricas
x = a,t + bsin t, y = a - bcos t
Este tipo de curva é conhecido como trocoide (ou cicloide generalizada): é o lugar geométrico de um ponto fixo em um círculo de raio b que rola sem deslizar ao longo de uma reta com avanço uniforme a. Para obter a forma não paramétrica, vamos eliminar o parâmetro t.

Passo 2

Da segunda equação temos
y = a - bcos t
Logo
cos t = a - yb
Isto fornece o domínio de y:
a - b ;<=; y ;<=; a + b

Passo 3

Para expressar sin t usamos a identidade fundamental sin^2t + cos^2t = 1. Substituindo cos t obtém-se
sin t = pmraiz1 - cos^2t = pmraiz1 - l(a - ybr)^2 = pmraizb^2 - (a - y)^2b

Passo 4

Agora substituímos sin t e t em x = a,t + bsin t. Como t = arccos!l(tfraca-ybr) (escolhendo o ramo principal), temos as duas funções ramo a ramo:
x = a,arccos!l(a - ybr) pm raiz,b^2 - (a - y)^2,

Passo 5

Portanto, a forma implícita (não paramétrica) da trocoide é dada por
boxed x = a,arccos!l(a - ybr) + sigma,raiz,b^2 - (a - y)^2, com;sigma=pm1 e;a - b<= y<= a + b
Este é o enunciado não paramétrico.

Resposta

boxed x = a,arccos!l(a - ybr) pm raiz,b^2 - (a - y)^2,, a - b<= y<= a + b
Gráficamente, trata-se de uma trocoide: um “ondulado” de cristas espaçadas em 2pi a e altura total 2b.

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