Determinar se as sćries seguiates são convergentes ou divergentes:
1+1 / 2-2 / 3+1 / 4+1 / 5-2 / 6+1 / 7+1 / 8-2 / 9++-ldots.

Passo 1

O enunciado apresenta a série
1 + 12 - 23 + 14 + 15 - 26 + 17 + 18 - 29 + cdots
e pede para determinar se ela é convergente ou divergente.
Conteúdo: teste de convergência de séries numéricas pelo agrupamento e comparação assintótica.

Passo 2

Observamos que os termos se organizam em blocos de três, para k=1,2,3,dots:
ak ;=;13k-2 ;+;13k-1 ;-;23k,
Assim a série original pode ser escrita como
sumn=1^infty un ;=;sumk=1^infty ak

Passo 3

Para estudar a convergência de sum ak examinamos o comportamento de ak quando ktoinfty. Usamos expansão em série de Taylor em torno de 1/(3k):
13k-2 =13k,11-tfrac23k approx 13kl(1+23kr) =13k+29k^2,
13k-1 approx 13kl(1+13kr) =13k+19k^2
Somando e subtraindo tfrac23k, obtemos
ak approx l(tfrac13k+tfrac29k^2r) +l(tfrac13k+tfrac19k^2r) -tfrac23k =13k^2 + O!l(k^-3r)
Logo para k grande, aksim tfrac13k^2. Como sum 1/k^2 converge, por comparação assintótica concluímos que sum ak converge.

Passo 4

Finalmente, verificamos a convergência absoluta:
sumk=1^inftyl|akr| approxsumk=1^inftyl(13k-2+13k-1+23kr) simsumk=1^infty43k,
que diverge como série harmônica. Portanto a série original converge, mas não converge absolutamente (convergência condicional).

Resposta

A série converge condicionalmente.

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