Determinar se as sćries seguiates são convergentes ou divergentes:
.
Passo 1
O enunciado apresenta a série
e pede para determinar se ela é convergente ou divergente.
Conteúdo: teste de convergência de séries numéricas pelo agrupamento e comparação assintótica.
Conteúdo: teste de convergência de séries numéricas pelo agrupamento e comparação assintótica.
Passo 2
Observamos que os termos se organizam em blocos de três, para
:
Assim a série original pode ser escrita como
Passo 3
Para estudar a convergência de
examinamos o comportamento de
quando
. Usamos expansão em série de Taylor em torno de
:
Somando e subtraindo
, obtemos
Logo para
grande,
. Como
converge, por comparação assintótica concluímos que
converge.
Passo 4
Finalmente, verificamos a convergência absoluta:
que diverge como série harmônica. Portanto a série original converge, mas não converge absolutamente (convergência condicional).
Resposta
A série converge condicionalmente.