Calcular a área limitada pela curva
a^2(x^2+y^2)^2(b^2 x^2+a^2 y^2)=(a^2-b^2)^2 b^2 x^4

Passo 1

O enunciado pede a área limitada pela curva
a^2l(x^2+y^2r)^2l(b^2x^2+a^2y^2r) =l(a^2-b^2r)^2b^2x^4
O conteúdo principal aqui é usar coordenadas polares para reescrever a equação, obter r(theta) e depois calcular
A=tfrac12integral0^2pir^2(theta),dtheta

Passo 2

Em coordenadas polares fazemos
x=rcostheta, y=rsintheta,
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x^2+y^2=r^2, b^2x^2+a^2y^2=r^2l(b^2cos^2theta+a^2sin^2thetar)
Substituindo na equação da curva e simplificando por r^4neq0, obtemos
r^2 =b^2(a^2-b^2)^2cos^4theta a^2l(b^2cos^2theta+a^2sin^2thetar)

Passo 3

O raio da curva é
r(theta) =b,(a^2-b^2),cos^2theta a,raiz,b^2cos^2theta+a^2sin^2theta,
Para a área usamos
A=tfrac12integral0^2pir^2(theta),dtheta =b^2(a^2-b^2)^22a^2 integral0^2picos^4theta,b^2cos^2theta+a^2sin^2theta,dtheta

Passo 4

Como o integrando tem período pi e é par em cada meio-período, temos
integral0^2pif(theta),dtheta =4integral0^pi/2f(theta),dtheta
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A=2b^2(a^2-b^2)^2a^2 integral0^pi/2cos^4theta ,b^2cos^2theta+a^2sin^2theta,dtheta

Passo 5

Fazemos a substituição t=tantheta, de modo que
cos^2theta=11+t^2, dtheta=dt1+t^2, thetain[0,tfracpi2]Rightarrow tin[0,infty)
Então a integral vira
I=integral0^pi/2cos^4theta ,b^2cos^2theta+a^2sin^2theta,dtheta =integral0^inftydt (1+t^2)^2l(b^2+a^2t^2r)

Passo 6

Para
I=integral0^inftydt (1+t^2)^2(b^2+a^2t^2)
usamos frações parciais do tipo
1(1+t^2)^2(b^2+a^2t^2) =Ab^2+a^2t^2+B1+t^2+C(1+t^2)^2,
e encontramos
A=a^4(a^2-b^2)^2, B=-a^2(a^2-b^2)^2, C=-1a^2-b^2

Passo 7

Cada integral elementar é conhecida:
integral0^inftydtb^2+a^2t^2=pi2ab, integral0^inftydt1+t^2=pi2, integral0^inftydt(1+t^2)^2=pi4
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I =pil[ A12ab+B12+C14 r] =pil(2a^3-3a^2b+b^3r) 4b,(a^2-b^2)^2

Passo 8

Voltando à área,
A =2b^2(a^2-b^2)^2a^2,I =2b^2(a^2-b^2)^2a^2 cdotpi(2a^3-3a^2b+b^3) 4b,(a^2-b^2)^2 =pi,b,(2a^3-3a^2b+b^3)2a^2
Fatorando 2a^3-3a^2b+b^3=(a-b)^2(b+2a), obtemos finalmente

Resposta

boxed A =pi,b,(a-b)^2(b+2a)2a^2

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