A regra de l’Hôpital afirma que, se lim x a f(x)=0 e lim x a g(x)=0, então
lim x a f(x)g(x)=lim x a f^prime(x)g^prime(x)
contanto que o limite do membro direito exista. Aplicando essa regra, determinar os seguintes limites:
A regra continua válida quando f / g assume a “forma indeterminada” infty / infty para x=a, e também quando x tende a infinito. Calcular:
lim x infty e^xx^3,

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxtoinftye^xx^3
usando a regra de l’Hopital, que se aplica quando obtemos a forma indeterminada infty/infty.

Passo 2

Definimos
f(x)=e^x, g(x)=x^3
Como limxtoinftyf(x)=infty e limxtoinftyg(x)=infty, temos a forma infty/infty e podemos aplicar l’Hopital.

Passo 3

Derivando numerador e denominador pela primeira vez, obtemos
f'(x)=e^x, g'(x)=3x^2,
portanto
limxtoinftye^xx^3 =limxtoinftye^x3x^2
Ainda resta a forma infty/infty.

Passo 4

Aplicando l’Hopital novamente, derivamos de novo:
f''(x)=e^x, g''(x)=6x,
então
limxtoinftye^x3x^2 =limxtoinftye^x6x
Permanece a forma infty/infty.

Passo 5

Uma terceira aplicação dá
f'''(x)=e^x, g'''(x)=6,
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limxtoinftye^x6x =limxtoinftye^x6 =infty

Resposta

infty

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