Se
fôr contínua e derivável para
, mostrar que, se
para
e
para
, a função nunca será menor do que
.
Passo 1
O enunciado diz que
é contínua e diferenciável em
, com
-
para -
para
Queremos mostrar que
A ideia é usar o Teorema do Valor Médio: para quaisquer pontos
, existe
tal que
Passo 2
Se
, aplicamos o Teorema do Valor Médio no intervalo
. Assim existe
tal que
Mas para
temos
e
, daí
Passo 3
Se
, aplicamos o Teorema do Valor Médio em
. Assim existe
tal que
Mas para
temos
e
, daí
Passo 4
Juntando os dois casos, concluímos que para todo
vale
ou seja,
é o valor mínimo de
em
.