Se f(x) fôr contínua e derivável para a <=q x <=q b, mostrar que, se f^prime(x) <=q 0 para a <=q x<xi e f^prime(x) >=q 0 para xi<x <=q b, a função nunca será menor do que f(xi).

Passo 1

O enunciado diz que f é contínua e diferenciável em [a,b], com
  • f'(x)<= 0 para a<= x<xi
  • f'(x)>= 0 para xi<x<= b
Queremos mostrar que
f(x)>= f(xi) forall xin[a,b]
A ideia é usar o Teorema do Valor Médio: para quaisquer pontos u<v, existe cin(u,v) tal que
f(v)-f(u)=f'(c),(v-u)

Passo 2

Se x<xi, aplicamos o Teorema do Valor Médio no intervalo [x,xi]. Assim existe cin(x,xi) tal que
f(xi)-f(x)=f'(c),(xi - x)
Mas para c<xi temos f'(c)<= 0 e xi-x>0, daí
f(xi)-f(x)<= 0 Longrightarrow f(x)>= f(xi)

Passo 3

Se x>xi, aplicamos o Teorema do Valor Médio em [xi,x]. Assim existe din(xi,x) tal que
f(x)-f(xi)=f'(d),(x-xi)
Mas para d>xi temos f'(d)>= 0 e x-xi>0, daí
f(x)-f(xi)>= 0 Longrightarrow f(x)>= f(xi)

Passo 4

Juntando os dois casos, concluímos que para todo xin[a,b] vale
f(x)>= f(xi),
ou seja, f(xi) é o valor mínimo de f em [a,b].

Resposta

f(x)>= f(xi) forall xin[a,b]

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