Determine a altura de uma pirâmide triangular regular, sabendo que a área total é 36 raiz3 cm^2 e o raio do círculo inscrito na base mede 2 cm .

Passo 1

O enunciado pede a altura de uma pirâmide cuja base é um triângulo equilátero (pirâmide triangular regular), sabendo que a área total vale 36raiz3,cm^2 e o raio do círculo inscrito na base é 2,cm. Vamos usar fórmulas de área de triângulo, a relação entre raio inscrito e lado, e a Pythagoriana aplicada ao triângulo formado pela altura da pirâmide, o raio inscrito e a aresta lateral (apótema lateral).

Passo 2

Em um triângulo equilátero de lado a, o raio da circunferência inscrita é
r = araiz36
Como aqui r=2, temos
2 = araiz36 Longrightarrow a = 12raiz3 = 4raiz3,cm

Passo 3

A área da base (triângulo equilátero de lado a) é
Abase = a^2raiz34 = l(4raiz3r)^2raiz34 = 48raiz34 = 12raiz3,cm^2

Passo 4

A área lateral é a área total menos a área da base:
Alat = 36raiz3 - 12raiz3 = 24raiz3,cm^2

Passo 5

Cada face lateral é um triângulo isósceles de base a e altura (apótema lateral) l. Como há três faces,
Alat = 3cdotacdot l2 = 3a,l2
Logo
24raiz3 = 3,(4raiz3),l2 Longrightarrow l = 2cdot24raiz33cdot4raiz3 = 4,cm

Passo 6

Na seção que contém o ápice, o ponto médio de uma aresta da base e o centro da base, forma-se um triângulo retângulo em que o apótema lateral l é a hipotenusa, um cateto é a altura H da pirâmide e o outro cateto é a distância do centro da base ao lado (que é exatamente o raio inscrito r). Assim,
l^2 = H^2 + r^2

Passo 7

Substituindo l=4 e r=2:
16 = H^2 + 4 Longrightarrow H^2 = 12 Longrightarrow H = 2raiz3,cm

Resposta

A altura da pirâmide é 2raiz3,cm.

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