Determine a altura de uma pirâmide triangular regular, sabendo que a área total é
e o raio do círculo inscrito na base mede 2 cm .
Passo 1
O enunciado pede a altura de uma pirâmide cuja base é um triângulo equilátero (pirâmide triangular regular), sabendo que a área total vale
e o raio do círculo inscrito na base é
. Vamos usar fórmulas de área de triângulo, a relação entre raio inscrito e lado, e a Pythagoriana aplicada ao triângulo formado pela altura da pirâmide, o raio inscrito e a aresta lateral (apótema lateral).
Passo 2
Em um triângulo equilátero de lado
, o raio da circunferência inscrita é
Como aqui
, temos
Passo 3
A área da base (triângulo equilátero de lado
) é
Passo 4
A área lateral é a área total menos a área da base:
Passo 5
Cada face lateral é um triângulo isósceles de base
e altura (apótema lateral)
. Como há três faces,
Logo
Passo 6
Na seção que contém o ápice, o ponto médio de uma aresta da base e o centro da base, forma-se um triângulo retângulo em que o apótema lateral
é a hipotenusa, um cateto é a altura
da pirâmide e o outro cateto é a distância do centro da base ao lado (que é exatamente o raio inscrito
). Assim,
Passo 7
Substituindo
e
:
Resposta
A altura da pirâmide é
.