Determine as aproximações quadrática e cúbica no ponto x0=0, das seguintes funções:
f(x)=raizx+3

Passo 1

O enunciado pede os polinômios de Taylor de ordem 2 (quadrática) e de ordem 3 (cúbica) de f(x)=raizx+3 em torno de x0=0. Para isso, vamos usar a definição de série de Taylor centrada em 0:
Tn(x)=sumk=0^nf^(k)(0)k!,x^k

Passo 2

Calculamos as derivadas de f:
f(x)= (x+3)^1/2,
f'(x)=tfrac12,(x+3)^-1/2,
f''(x)=-tfrac14,(x+3)^-3/2,
f'''(x)=tfrac38,(x+3)^-5/2

Passo 3

Avaliamo-las em x=0:
f(0)=raiz3, f'(0)=12raiz3, f''(0)=-112raiz3, f'''(0)=124raiz3

Passo 4

Montamos os polinômios:
para n=2 (quadrático),
T2(x) =;f(0)+f'(0)x+f''(0)2!x^2 =raiz3+x2raiz3-x^224raiz3
para n=3 (cúbico),
T3(x) =T2(x)+f'''(0)3!x^3 =raiz3+x2raiz3-x^224raiz3+x^3144raiz3

Resposta

A aproximação quadrática é
T2(x)=raiz3+x2raiz3-x^224raiz3,
e a aproximação cúbica é
T3(x)=raiz3+x2raiz3-x^224raiz3+x^3144raiz3

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