Determine as aproximações quadrática e cúbica no ponto x0=0, das seguintes funções:
f(x)=e^-2 x

Passo 1

Tranquilo, o enunciado pede as aproximações quadrática e cúbica (ou seja, os polinômios de Taylor de grau 2 e 3) de f(x)=e^-2x em x0=0. Para isso vamos usar a fórmula de Taylor em torno de 0 e calcular derivadas até a terceira ordem.

Passo 2

Beleza, vamos calcular as derivadas de f. Aplicando a regra da cadeia, temos:
f'(x) = -2e^-2x
f''(x) = 4e^-2x
f'''(x) = -8e^-2x

Passo 3

Agora avaliamos cada uma em x=0:
f(0) = e^0 = 1
f'(0) = -2e^0 = -2
f''(0) = 4e^0 = 4
f'''(0) = -8e^0 = -8

Passo 4

O polinômio de Taylor de ordem 2 em torno de 0 é
T2(x) = f(0) + f'(0),x + f''(0)2!,x^2
ou seja,
T2(x) = 1 - 2x + 42x^2 = 1 - 2x + 2x^2

Passo 5

O polinômio de Taylor de ordem 3 em torno de 0 é
T3(x) = T2(x) + f'''(0)3!,x^3
então
T3(x) = 1 - 2x + 2x^2 + -86x^3 = 1 - 2x + 2x^2 - 43x^3

Resposta

Polinômio quadrático: T2(x) = 1 - 2x + 2x^2
Polinômio cúbico: T3(x) = 1 - 2x + 2x^2 - tfrac43x^3

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