Determine a área de um círculo inscrito em um setor circular de 60^circ, sendo 12 pi cm o comprimento do arco do setor.

Passo 1

O enunciado dá um setor circular de ângulo central theta=60^circ cujo comprimento de arco é 12pi cm, e pede a área do círculo inscrito nesse setor. Vamos precisar de duas coisas:
  1. determinar o raio R do setor a partir do comprimento de arco;
  2. usar a geometria do círculo inscrito em setor para achar seu raio r e depois calcular sua área.

Passo 2

O comprimento de arco L de um setor de raio R e ângulo theta (em radianos) é dado por
L = R,theta
Aqui L=12pi e theta=60^circ=pi/3. Logo,
R = Ltheta = 12pipi/3 = 36 cm

Passo 3

Para um círculo inscrito em um setor, seu centro fica sobre a bissetriz do ângulo e a distância d desse centro ao vértice do setor satisfaz duas condições:
  1. toca o arco interno a distância R - r, logo d = R - r.
  2. toca as duas semirretas (raios) a distância r, e geometricamente r = dsin(theta/2).
    Igualando
R - r = rsin(theta/2),
e resolvendo para r obtemos
r = Rsin(theta/2)1 + sin(theta/2)

Passo 4

Como theta/2 = 30^circ, temos sin(30^circ)=tfrac12. Substituindo em r:
r = Rcdot121 + 12 = R3 = 363 = 12 cm

Passo 5

A área do círculo inscrito é
Área = pi r^2 = pi cdot 12^2 = 144pi cm^2 Á

Resposta

A área do círculo inscrito é 144pi cm^2.

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