Determine a área de um círculo inscrito em um setor circular de
, sendo
o comprimento do arco do setor.
Passo 1
O enunciado dá um setor circular de ângulo central
cujo comprimento de arco é
, e pede a área do círculo inscrito nesse setor. Vamos precisar de duas coisas:
- determinar o raio
do setor a partir do comprimento de arco; - usar a geometria do círculo inscrito em setor para achar seu raio
e depois calcular sua área.
Passo 2
O comprimento de arco
de um setor de raio
e ângulo
(em radianos) é dado por
Aqui
e
. Logo,
Passo 3
Para um círculo inscrito em um setor, seu centro fica sobre a bissetriz do ângulo e a distância
desse centro ao vértice do setor satisfaz duas condições:
- toca o arco interno a distância
, logo . - toca as duas semirretas (raios) a distância
, e geometricamente .
Igualando
e resolvendo para
obtemos
Passo 4
Como
, temos
. Substituindo em
:
Passo 5
A área do círculo inscrito é
Resposta
A área do círculo inscrito é
.