Calcule a área de um segmento circular de um círculo de raio R e ângulo central medindo:
45^circ

Passo 1

O enunciado pede a área de um segmento circular de um círculo de raio R e ângulo central de 45^circ. Para resolver, vamos usar a ideia de que a área do segmento é a área do setor circular correspondente menos a área do triângulo isósceles formado pelos dois raios e pela corda.

Passo 2

Primeiro convertemos o ângulo central de graus para radianos, pois as fórmulas de área em círculo exigem radiano. Como
45^circ = pi4 rad,
denotamos theta = tfracpi4.

Passo 3

A área do setor circular de raio R e ângulo theta é dada por
Asetor = 12,R^2,theta

Passo 4

A área do triângulo isósceles com lados R,R e ângulo entre eles theta é
Atriângulo = 12,R^2,sintheta â

Passo 5

Então a área do segmento circular é a diferença
Asegmento = Asetor - Atriângulo = 12,R^2,l(theta - sinthetar) â

Passo 6

Substituindo theta = tfracpi4 e sinl(tfracpi4r)=tfracraiz22, vem
Asegmento = 12,R^2!l(pi4 - raiz22r) = R^28,l(pi - 2raiz2r)

Resposta

A = R^28,l(pi - 2raiz2r)

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