Entre os triângulos de mesma base e mesmo ângulo do vértice oposto a essa base, qual o de maior área?

Passo 1

O enunciado pede: entre todos os triângulos que têm a mesma base BC (de comprimento fixo a) e o mesmo ângulo alpha no vértice oposto a essa base (vértice A), qual deles tem a maior área?
Conteúdo: fórmula da área em função de lados e ângulo, lei dos cossenos e desigualdade AM–GM.

Passo 2

Sejam AB=b e AC=c. A área de ABC pode ser escrita pela fórmula que usa o ângulo alpha=ang<= A:
K = 12,b,c,sinalpha
Como alpha é fixo, maximizar K equivale a maximizar o produto b,c.

Passo 3

Os lados b e c satisfazem a lei dos cossenos relativa à base BC de comprimento a:
a^2 = b^2 + c^2 - 2,b,ccosalpha
Essa equação liga b e c para valores de a e alpha fixos.

Passo 4

Usamos a desigualdade entre médias aritmética e geométrica:
b^2 + c^2 ;>=; 2,b,c
Substituindo na lei dos cossenos:
a^2 = b^2 + c^2 - 2bccosalpha ;>=; 2bc - 2bccosalpha = 2,bc,(1-cosalpha)
Logo,
bc ;<=; a^22,(1-cosalpha) = a^24,sin^2(tfracalpha2)
A igualdade da AM–GM ocorre quando b=c.

Passo 5

Como o produto b,c (e portanto a área K) atinge o valor máximo exatamente quando
b = c,
concluímos que o triângulo de maior área é aquele em que os dois lados que contêm o ângulo alpha são iguais, ou seja, um triângulo isósceles.

Resposta

O triângulo isósceles com vértice oposto à base, isto é, aquele em que AB = AC.

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