Entre os triângulos de mesma base e mesmo ângulo do vértice oposto a essa base, qual o de maior área?
Passo 1
O enunciado pede: entre todos os triângulos que têm a mesma base
(de comprimento fixo
) e o mesmo ângulo
no vértice oposto a essa base (vértice
), qual deles tem a maior área?
Conteúdo: fórmula da área em função de lados e ângulo, lei dos cossenos e desigualdade AM–GM.
Conteúdo: fórmula da área em função de lados e ângulo, lei dos cossenos e desigualdade AM–GM.
Passo 2
Sejam
e
. A área de
pode ser escrita pela fórmula que usa o ângulo
:
Como
é fixo, maximizar
equivale a maximizar o produto
.
Passo 3
Os lados
e
satisfazem a lei dos cossenos relativa à base
de comprimento
:
Essa equação liga
e
para valores de
e
fixos.
Passo 4
Usamos a desigualdade entre médias aritmética e geométrica:
Substituindo na lei dos cossenos:
Logo,
A igualdade da AM–GM ocorre quando
.
Passo 5
Como o produto
(e portanto a área
) atinge o valor máximo exatamente quando
concluímos que o triângulo de maior área é aquele em que os dois lados que contêm o ângulo
são iguais, ou seja, um triângulo isósceles.
Resposta
O triângulo isósceles com vértice oposto à base, isto é, aquele em que
.