Determine a área da esfera inscrita em um cone equilátero cuja área lateral mede 50 pi cm^2.

Passo 1

O enunciado pede a área da esfera inscrita num cone equilátero cuja área lateral é 50pi,cm ^2. Vamos usar a fórmula da área lateral de um cone reto, a condição de cone equilátero ( ell=2r) para determinar os dados do cone e, em seguida, a fórmula do raio da esfera inscrita.

Passo 2

Num cone reto, a área lateral é
AL = pi rell
Como o cone é equilátero, ell=2r, logo
AL = pi r,(2r) = 2pi r^2 = 50pi
Daí r^2=25 e r=5,cm.

Passo 3

A altura h do cone satisfaz ell^2 = r^2 + h^2. Como ell=2r, temos
(2r)^2 = r^2 + h^2 implies 4r^2 = r^2 + h^2 implies h^2 = 3r^2,
portanto
h = rraiz3 = 5raiz3,cm

Passo 4

O raio rs da esfera inscrita num cone reto é dado por
rs = h,rell + r,
onde ell é a geratriz do cone.

Passo 5

Substituindo h=5raiz3, r=5 e ell=10 obtém-se
rs = 5raiz3,cdot 510 + 5 = 25raiz315 = 5raiz33,cm

Passo 6

A área da esfera é
4pi rs^2 = 4pi l(5raiz33r)^2 = 4pi 759 = 100pi3,cm^2

Resposta

100pi3,cm^2

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