Determine a área da esfera inscrita em um cone equilátero cuja área lateral mede
.
Passo 1
O enunciado pede a área da esfera inscrita num cone equilátero cuja área lateral é
,cm
. Vamos usar a fórmula da área lateral de um cone reto, a condição de cone equilátero (
) para determinar os dados do cone e, em seguida, a fórmula do raio da esfera inscrita.
Passo 2
Num cone reto, a área lateral é
Como o cone é equilátero,
, logo
Daí
e
,cm.
Passo 3
A altura
do cone satisfaz
. Como
, temos
portanto
Passo 4
O raio
da esfera inscrita num cone reto é dado por
onde
é a geratriz do cone.
Passo 5
Substituindo
,
e
obtém-se
Passo 6
A área da esfera é