Determine o volume de um tronco de pirâmide cujas bases são triângulos equiláteros, sabendo que a área da base maior é 24 cm^2 e que a razão de semelhança entre os lados das bases é 23, sendo 6 cm a altura do tronco de pirâmide.

Passo 1

O enunciado pede o volume de um tronco de pirâmide cujas bases são triângulos equiláteros. Sabemos que a área da base maior é 24,cm ^2, a razão de semelhança entre os lados das bases é tfrac23 (logo a base menor é semelhante à maior) e a altura do tronco é 6,cm. Para resolver, vamos usar dois conteúdos principais: semelhança de figuras planas (para achar a área da base menor) e a fórmula do volume de um tronco de pirâmide.

Passo 2

Como as bases são triângulos equiláteros semelhantes, a razão entre as áreas é o quadrado da razão entre os lados. Então, se tfracLrm menorLrm maior=tfrac23, temos
Arm menorArm maior =l(23r)^2 =49
Portanto
Arm menor =24cdot49 =969 =323 cm^2

Passo 3

A fórmula do volume V de um tronco de pirâmide com altura h e áreas das bases A1 (maior) e A2 (menor) é
V = h3,l(A1 + A2 + raizA1A2r)

Passo 4

Agora substituímos h=6, A1=24 e A2=tfrac323:
V = 63,l(24 + 323 + raiz24cdot323r) =2,l(24 + 323 + raiz7683r)
Como tfrac7683=256 e raiz256=16, o parêntese fica
24 + 323 + 16 =40 + 323 =120+323 =1523
Logo
V = 2cdot1523 =3043 cm^3

Resposta

3043 cm^3

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