Dados um cubo e um tetraedro regular nele inscrito, considere o plano que contém o centro do cubo e que é paralelo a uma das faces do tetraedro. Calcule a razão entre as áreas das seções que esse plano produz nos dois sólidos dados.

Passo 1

Temos um cubo de aresta a e um tetraedro regular inscrito nele cujos vértices podemos tomar como
A=(0,0,0), B=(0,a,a), C=(a,0,a), D=(a,a,0)
Pede-se a razão entre as áreas da seção do cubo e da seção do tetraedro feita por um plano que passa pelo centro do cubo O=(a/2,a/2,a/2) e é paralelo a uma face do tetraedro, digamos a face ABC. Vamos usar geometria analítica para achar ambas as áreas.

Passo 2

Encontramos a equação do plano de ABC. Dois vetores diretores dessa face são
AB=(0,a,a), AC=(a,0,a),
logo uma normal é
n=ABtimesAC=(a^2,a^2,-a^2)
A equação em coordenadas é, até fator,
x+y-z=0
O plano paralelo e que contém O satisfaz
x+y-z=d
e ao substituir O obtemos d=a/2. Portanto o nosso plano é
x+y-z=tfrac a2

Passo 3

Para a seção do cubo, achamos as interseções do plano x+y-z=tfrac a2 com as arestas do cubo. Fazendo x=0 ou a, y=0 ou a, z=0 ou a e resolvendo para o parâmetro de cada aresta, obtemos seis pontos:
P1l(tfrac a2,0,0r),;P2l(0,tfrac a2,0r),;P3l(0,a,tfrac a2r),
P4l(tfrac a2,a,ar),;P5l(a,tfrac a2,ar),;P6l(a,0,tfrac a2r)
Esses seis vértices formam um hexágono regular de lado
ell=raizl(tfrac a2r)^2+l(tfrac a2r)^2=tfracaraiz22
A área desse hexágono é
Arm cubo =3raiz32,ell^2 =3raiz32cdota^22 =3raiz34,a^2

Passo 4

Para a seção do tetraedro, usamos que um plano paralelo à face ABC corta o tetra formando um triângulo semelhante a ABC. A distância do vértice oposto D ao plano ABC é
H=|(a,a,0)cdot(1,1,-1)||,(1,1,-1)|! =2araiz3,
enquanto a distância do plano ABC ao plano de seção é
h=|(a/2,a/2,a/2)cdot(1,1,-1)|raiz3 =a/2raiz3
O triângulo de seção tem razão linear de semelhança
1-hH=1-tfraca2raiz3tfrac2araiz3 =1-tfrac14=tfrac34
em relação ao triângulo ABC, que é equilátero de lado araiz2. Assim sua área é
Arm tetra =l(tfrac34r)^2cdotraiz34(araiz2)^2 =916cdotraiz34cdot2a^2 =9raiz332,a^2

Passo 5

Calculamos a razão entre as áreas:
Arm tetraArm cubo =tfrac9raiz332,a^2tfrac3raiz34,a^2 =9/323/4 =932cdot43 =38

Resposta

A razão entre as áreas das seções é tfrac38.

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