Determine a área de um quadrado cujo lado é igual ao lado de um octógono regular inscrito em um círculo de raio r.

Passo 1

O enunciado pede a área de um quadrado cujo lado é igual ao lado de um octógono regular inscrito num círculo de raio r. Para isso precisamos (1) determinar o comprimento do lado do octógono inscrito e (2) usar a fórmula da área do quadrado.

Passo 2

Num polígono regular de n lados inscrito num círculo de raio r, cada lado é um corda de ângulo central tfrac2pin. No nosso caso n=8, logo o ângulo central vale tfracpi4, e o lado do octógono é
s = 2rsinl(tfracpi8r)

Passo 3

A área do quadrado de lado s é
A = s^2 = l(2rsin(tfracpi8)r)^2 = 4r^2,sin^2!l(tfracpi8r)

Passo 4

Para simplificar usamos a fórmula de ângulo metade:
sin^2!l(tfracpi8r) = 1 - cos(tfracpi4)2 = 1 - tfracraiz222 = 2 - raiz24

Passo 5

Substituindo em A:
A = 4r^2 cdot 2 - raiz24 = r^2,(2 - raiz2)

Resposta

A = r^2,(2 - raiz2)

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