Suponhamos que se percorra um triângulo num sentido determinado e que se prolongue, nesse sentido, cada lado de um comprimento igual ao próprio lado que se prolonga. Demonstre que a área do triângulo que tem por vértices as extremidades dos prolongamentos é igual a sete vezes a área do triângulo dado.

Passo 1

Vamos chamar de A, B e C os vértices do triângulo dado e percorrê-lo no sentido Ato Bto Cto A. O problema diz para, em cada vértice, prolongar o lado que chega até ele por um segmento de comprimento igual ao próprio lado. O objetivo é mostrar que o triângulo formado pelas extremidades desses prolongamentos tem área sete vezes maior que a do triângulo ABC.
Conteúdo que vamos usar: representação vetorial de pontos no plano e a fórmula da área de triângulo em função de produto vetorial.

Passo 2

Associamos a cada ponto seu vetor de posição no plano, digamos A, B, C. Definimos
u = B - A, v = C - A,
que são, respectivamente, os vetores AB e AC. Lembrando que a área do triângulo ABC é
área(ABC) = tfrac12llvert u times v rrvert á

Passo 3

Agora construímos os pontos resultantes dos prolongamentos:
– Em B prolongamos AB até F com BF = AB, logo
F = B + ( B - A) = 2 B - A
– Em C prolongamos BC até D com CD = BC, logo
D = C + ( C - B) = 2 C - B
– Em A prolongamos CA até E com AE = CA, logo
E = A + ( A - C) = 2 A - C
Queremos a área de DEF, que vale tfrac12llvert ( E- D)times( F- D)rrvert.

Passo 4

Vamos expressar E- D e F- D em função de u e v. Como
A = A, B = A + u, C = A + v,
temos
D = 2( A+ v)-( A+ u)= A +2 v- u, E = 2 A-( A+ v)= A- v, F = 2( A+ u)- A= A+2 u
Logo
E- D=( A- v)-( A+2 v- u)= u-3 v,
F- D=( A+2 u)-( A+2 v- u)=3 u-2 v
Então o produto vetorial fica
( E- D)times( F- D) =( u-3 v)times(3 u-2 v)
Usando bilinearidade e anticomutatividade do produto vetorial,
( u-3 v)times(3 u-2 v) = utimes(-2 v)+(-3 v)times3 u = -2( utimes v)-9( vtimes u) =7,( utimes v)

Passo 5

Portanto
área(DEF) =tfrac12llvert7,( utimes v)rrvert =7;tfrac12llvert utimes vrrvert =7,área(ABC) áá

Resposta

A área do triângulo formado pelos prolongamentos é sete vezes a área do triângulo original ABC.

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