Num triângulo retângulo, a é a medida da hipotenusa, b e c as dos catetos. Constroem-se os semicírculos de diâmetros be c externos ao triângulo, e o semicírculo de diâmetro a circunscrito ao triângulo. As regiões dos dois primeiros semicírculos externos à terceira são chamadas “lúnulas de Hipócrates”. Mostre que a soma das áreas das lúnulas é igual à área do triângulo.
Passo 1
O enunciado trata de um triângulo retângulo com catetos de medidas
e
e hipotenusa de medida
, de modo que
Sobre cada cateto constrói-se um semicírculo externo ao triângulo (de diâmetros
e
), e sobre a hipotenusa um semicírculo que o circunscreve (diâmetro
). As lúnulas são as partes dos semicírculos de diâmetros
e
que ficam fora do semicírculo de diâmetro
. Nosso objetivo é mostrar que a soma das áreas dessas duas lúnulas é igual à área do triângulo, que é
.
Passo 2
Vamos chamar de
a lúnula associada ao cateto de comprimento
. Por definição,
A área do semicírculo de diâmetro
é
Passo 3
Para achar a área do segmento circular no semicírculo de diâmetro
, note que a corda de comprimento
subtende um ângulo inscrito no semicírculo igual ao ângulo oposto na base do triângulo. Sejam
e
. Então, pelo teorema do arco inscrito, o ângulo central correspondente à corda
vale
No semicírculo de raio
, a área do setor de ângulo
é
e a área do triângulo isósceles do mesmo setor é
Logo, a área do segmento é
Passo 4
Portanto
De modo análogo, para a lúnula
associada ao cateto
, usando o ângulo central
, obtemos
Passo 5
Somando as duas áreas:
Como
, temos
e
Além disso,
Substituindo, o numerador torna-se
e assim
que é exatamente a área do triângulo retângulo.
Resposta
A soma das áreas das duas lúnulas é
ou seja, coincide com a área do triângulo retângulo.