Num triângulo retângulo, a é a medida da hipotenusa, b e c as dos catetos. Constroem-se os semicírculos de diâmetros be c externos ao triângulo, e o semicírculo de diâmetro a circunscrito ao triângulo. As regiões dos dois primeiros semicírculos externos à terceira são chamadas “lúnulas de Hipócrates”. Mostre que a soma das áreas das lúnulas é igual à área do triângulo.

Passo 1

O enunciado trata de um triângulo retângulo com catetos de medidas b e c e hipotenusa de medida a, de modo que
a^2 = b^2 + c^2
Sobre cada cateto constrói-se um semicírculo externo ao triângulo (de diâmetros b e c), e sobre a hipotenusa um semicírculo que o circunscreve (diâmetro a). As lúnulas são as partes dos semicírculos de diâmetros b e c que ficam fora do semicírculo de diâmetro a. Nosso objetivo é mostrar que a soma das áreas dessas duas lúnulas é igual à área do triângulo, que é tfracbc2.

Passo 2

Vamos chamar de Lb a lúnula associada ao cateto de comprimento b. Por definição,
área(Lb) = área do semicírculo de raio tfrac b2 ;-; área do segmento circular do semicírculo maior cortado pela corda de comprimento b ááíáí
A área do semicírculo de diâmetro b é
pi,b^28

Passo 3

Para achar a área do segmento circular no semicírculo de diâmetro a, note que a corda de comprimento b subtende um ângulo inscrito no semicírculo igual ao ângulo oposto na base do triângulo. Sejam beta=ang<=(no vértice oposto a b)é e gamma=ang<=(oposto a c). Então, pelo teorema do arco inscrito, o ângulo central correspondente à corda b vale
thetab = 2gamma
No semicírculo de raio R=tfrac a2, a área do setor de ângulo thetab é
12,R^2,thetab = 12l(tfrac a2r)^2,(2gamma) = a^2,gamma4,
e a área do triângulo isósceles do mesmo setor é
12,R^2sinthetab = 12l(tfrac a2r)^2sin(2gamma) = a^28,sin(2gamma)
Logo, a área do segmento é
a^2,gamma4;-;a^28,sin(2gamma) = a^28,l(2gamma-sin(2gamma)r)

Passo 4

Portanto
área(Lb) = pi,b^28 ;-; a^28,l(2gamma-sin(2gamma)r) á
De modo análogo, para a lúnula Lc associada ao cateto c, usando o ângulo central thetac=2beta, obtemos
área(Lc) = pi,c^28 ;-; a^28,l(2beta-sin(2beta)r) á

Passo 5

Somando as duas áreas:
área(Lb)+área(Lc) &= pi,(b^2+c^2)8 -a^28l(2gamma-sin(2gamma)+2beta-sin(2beta)r) &= pi,a^28 -a^28l(2(beta+gamma)-(sin2beta+sin2gamma)r) áá
Como beta+gamma=90^circ, temos 2(beta+gamma)=pi e
sin(2beta)+sin(2gamma) =2sinl(tfrac2beta+2gamma2r)cosl(tfrac2beta-2gamma2r) =2sinl(tfracpi2r)cos(beta-gamma) =2cos(beta-gamma)
Além disso,
cos(beta-gamma) =cosbetacosgamma+sinbetasingamma =caba+baca =2bca^2
Substituindo, o numerador torna-se
pi a^2 - a^2l(pi - 2cos(beta-gamma)r) = a^2l(pi-pi+2cdottfrac2bca^2r) =4bc,
e assim
área(Lb)+área(Lc) =4bc8 =bc2, áá
que é exatamente a área do triângulo retângulo.

Resposta

A soma das áreas das duas lúnulas é
bc2,
ou seja, coincide com a área do triângulo retângulo.

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