Determine a área de um quadrado inscrito em um triângulo equilátero em função do raio R do círculo circunscrito a esse triângulo.
Passo 1
O enunciado pede a área de um quadrado inscrito num triângulo equilátero cujo círculo circunscrito tem raio
. Vamos:
– Relacionar o lado do triângulo a
.
– Usar semelhança de triângulos para achar o lado do quadrado .
– Calcular a área .
– Relacionar o lado do triângulo
– Usar semelhança de triângulos para achar o lado do quadrado
– Calcular a área
Passo 2
Num triângulo equilátero de lado
vale
A altura desse triângulo é
e a largura de uma seção paralela à base, a uma distância
da base, é
Passo 3
Para inscrever o quadrado de lado
com a base na base do triângulo, seu topo está a
e deve caber na largura
. Logo
Rearranjando vem
Passo 4
Como
, temos
Substituindo
sai
Passo 5
A área do quadrado é
Racionalizando o denominador,