Determine a área de um quadrado inscrito em um triângulo equilátero em função do raio R do círculo circunscrito a esse triângulo.

Passo 1

O enunciado pede a área de um quadrado inscrito num triângulo equilátero cujo círculo circunscrito tem raio R. Vamos:
– Relacionar o lado do triângulo a a R.
– Usar semelhança de triângulos para achar o lado do quadrado s.
– Calcular a área A=s^2.

Passo 2

Num triângulo equilátero de lado a vale
a = raiz3,R
A altura desse triângulo é
h = raiz32,a,
e a largura de uma seção paralela à base, a uma distância y da base, é
L(y)=al(1-yhr)

Passo 3

Para inscrever o quadrado de lado s com a base na base do triângulo, seu topo está a y=s e deve caber na largura L(s). Logo
s = L(s) = al(1-shr)
Rearranjando vem
sl(1+ahr)=a Longrightarrow s = a1+tfracah

Passo 4

Como tfracah=tfrac2raiz3, temos
s = a1+tfrac2raiz3 = araiz3raiz3+2
Substituindo a=raiz3,R sai
s = raiz3Rcdotraiz3raiz3+2 = 3Rraiz3+2

Passo 5

A área do quadrado é
A = s^2 = l(3Rraiz3+2r)^2 = 9R^2(raiz3+2)^2 = 9R^27+4raiz3
Racionalizando o denominador,
A = 9,(7-4raiz3),R^2

Resposta

A = 9R^27+4raiz3 ou A = 9(7-4raiz3),R^2

Exercícios de Livros Relacionados