Determine a área de um octógono regular de lado ell.

Passo 1

O enunciado pede a área de um octógono regular de lado . Vamos usar trigonometria: dividir o polígono em triângulos isósceles com vértice no centro e depois somar suas áreas.

Passo 2

Cada um dos alpha = 2pi8 = pi4 triângulos tem ângulo central
12,R^2sin(alpha)
e raio (distância do centro a um vértice) igual a A = 8;12,R^2sinl(tfracpi4r) ;=;4,R^2sinl(tfracpi4r) . A área de cada triângulo vale
então a área total é

Passo 3

Precisamos expressar ell = 2,Rsinl(tfracalpha2r) = 2,Rsinl(tfracpi8r) em função de R = ell2sinl(tfracpi8r) . Num triângulo isósceles a base é o lado do octógono, logo
e daí

Passo 4

Substituindo A = 4,l(ell2sin(tfracpi8)r)^!2 sinl(tfracpi4r) = 4,ell^24sin^2(tfracpi8);raiz22 = ell^2raiz22,sin^2(tfracpi8) em sinl(tfracpi8r) = raiz2-raiz22 Longrightarrow sin^2l(tfracpi8r)=2-raiz24, :
2,sin^2(tfracpi8) = 2-raiz22 Longrightarrow A = ell^2raiz2(2-raiz2)/2 = 2ell^2raiz22-raiz2 = raiz2,ell^2,(2+raiz2) = 2ell^2(1+raiz2)
Como
temos

Resposta

A = 2l(1+raiz2r),ell^2

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