Determine a área de um segmento circular de 60^circ de um círculo que contém um setor circular de 6 pi cm^2 de área, sendo 2 pi cm o comprimento do arco desse setor.

Passo 1

O enunciado pede a área de um segmento circular de 60^circ de um círculo, sabendo que o setor correspondente tem área 6pi,cm^{2}) e comprimento de arco 2pi,cm. Vamos usar as fórmulas de comprimento de arco ell = rtheta e de área de setor tfrac12r^2theta, além da área do triângulo isósceles formado pelos dois raios e a corda, pois
área do segmento = área do setor – área desse triângulo.

Passo 2

Da fórmula do arco:
rtheta = 2pi,
e da área do setor:
tfrac12,r^2theta = 6pi
seguem
r^2theta = 12pi
Dividindo r^2theta = 12pi por rtheta = 2pi obtemos
r = 2pitheta
Substituindo em r^2theta=12pi temos
4pi^2theta^2,theta = 12pi ;Longrightarrow; theta = pi3 ;l(60^circr)
e então
r = 2pipi/3 = 6 cm

Passo 3

O triângulo de vértices no centro e nas extremidades do arco tem área
12,r^2sintheta
Substituindo r=6 e theta=pi/3 resulta
12cdot6^2sinpi3 = 18cdotraiz32 = 9raiz3 cm^2

Passo 4

A área do segmento é a área do setor menos a área do triângulo:
áreasegmento = 6pi - 9raiz3 cm^2 á

Resposta

6pi - 9raiz3 cm^2

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