A que distância da base de um triângulo de altura, relativa a essa base, igual a h devemos conduzir uma reta paralela a essa base para que o triângulo fique dividido em partes de áreas iguais?

Passo 1

Temos um triângulo de altura, relativa à base, igual a h. Queremos traçar uma reta paralela à base, a uma certa distância x dela, de modo que a área do triângulo seja dividida em duas partes iguais. Para isso vamos usar semelhança de triângulos e a propriedade de que áreas se comparam pelo quadrado da razão de semelhança.

Passo 2

Seja x a distância da base até a reta que traçamos. A parte de cima forma um triângulo semelhante ao original, cuja altura é
h - x
A razão de semelhança (linear) entre o triângulo menor e o original é
h - xh

Passo 3

Como áreas de figuras semelhantes se relacionam pelo quadrado da razão de semelhança, a área do triângulo de cima vale
Áreapequeno =Áreaoriginal,l(h - xhr)^2 ÁÁ
Queremos que esta seja metade da área original, ou seja,
l(h - xhr)^2 = 12

Passo 4

Da equação
l(h - xhr)^2 = 12
tiramos
h - xh = 1raiz2 Longrightarrow h - x = hraiz2 Longrightarrow x = h - hraiz2

Resposta

A reta deve ser traçada a uma distância
x = hl(1 - tfrac1raiz2r)
da base do triângulo.

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