Determine a razão entre o raio do círculo circunscrito e o raio do círculo inscrito em um triângulo ABC isósceles de base
, sendo
o ângulo do vértice do triângulo.
Passo 1
Temos um triângulo
isósceles com base
e ângulo do vértice em
valendo
. Queremos a razão entre o raio do circuncírculo
e o raio do incírculo
. Para isso vamos usar:
- Lei dos Cossenos para relacionar os lados.
- Fórmula do raio circunscrito
- Fórmula do raio inscrito via área e semiperímetro.
Passo 2
Seja
. Pela Lei dos Cossenos em
:
Como
, temos
Logo
Passo 3
A fórmula do raio circunscrito em função do lado
oposto ao ângulo
é
Como
e
, segue
Passo 4
O raio inscrito satisfaz
, onde
é a área e
o semiperímetro.
A área pode ser calcada por
A área pode ser calcada por
O semiperímetro é
Passo 5
Agora
Passo 6
Finalmente, a razão