Determine a razão entre o raio do círculo circunscrito e o raio do círculo inscrito em um triângulo ABC isósceles de base BC=a, sendo 120^circ o ângulo do vértice do triângulo.

Passo 1

Temos um triângulo ABC isósceles com base BC = a e ângulo do vértice em A valendo 120^circ. Queremos a razão entre o raio do circuncírculo R e o raio do incírculo r. Para isso vamos usar:
  • Lei dos Cossenos para relacionar os lados.
  • Fórmula do raio circunscrito
  • Fórmula do raio inscrito via área e semiperímetro.

Passo 2

Seja b = AB = AC. Pela Lei dos Cossenos em triang<= ABC:
a^2 = b^2 + b^2 - 2,b^2cos(120^circ)
Como cos(120^circ) = -tfrac12, temos
a^2 = 2b^2l(1 - (-tfrac12)r) = 2b^2cdottfrac32 = 3b^2
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b = araiz3

Passo 3

A fórmula do raio circunscrito em função do lado a oposto ao ângulo A é
R = a2sin A
Como A=120^circ e sin(120^circ)=tfracraiz32, segue
R = a2,( raiz3/2) = araiz3

Passo 4

O raio inscrito satisfaz r = dfracDe<as, onde De<a é a área e s o semiperímetro.
A área pode ser calcada por
De<a = tfrac12,b^2sin(120^circ) = tfrac12;a^23;raiz32 = a^2raiz312
O semiperímetro é
s = 2b + a2 = 2,araiz3 + a2 = a2l(2raiz3+1r)

Passo 5

Agora
r = De<as = a^2raiz312% a2l(tfrac2raiz3+1r) = araiz36;1tfrac2raiz3+1 = a4+2raiz3 = a,(2-raiz3)2

Passo 6

Finalmente, a razão
Rr = araiz3% a,(2-raiz3)2 = 2raiz3,(2-raiz3) = 6 + 4raiz33

Resposta

Rr = 6 + 4raiz33

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