Determine a área total de um cilindro equilátero, sendo S a área de sua seção meridiana.

Passo 1

O enunciado pede a área total de um cilindro equilátero, sabendo que S é a área da sua seção meridiana. A seção meridiana é o retângulo formado ao cortar o cilindro por um plano que passa pelo eixo, cujos lados medem a altura h (ou geratriz) e o diâmetro da base 2r. Além disso, por definição de cilindro equilátero, temos
h = 2r
Vamos usar isso para expressar S em função de r e, em seguida, achar a área total em função de S.

Passo 2

Escrevendo a área da seção meridiana em função de r e h, temos
S = l(base do retângulor)timesl(a<ura do retângulor) = 2r cdot h ââ
Como h = 2r, segue
S = 2r cdot 2r = 4r^2

Passo 3

Isolando r^2 em função de S, obtemos
r^2 = S4

Passo 4

A área total do cilindro é a soma da área lateral com a área de duas bases:
Atotal = Alateral + 2,Abase = 2pi r,h ;+; 2pi r^2
Substituindo h=2r na área lateral,
2pi rcdot h = 2pi rcdot(2r)=4pi r^2,
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Atotal = 4pi r^2 + 2pi r^2 = 6pi r^2

Passo 5

Finalmente, substituindo r^2 = tfracS4 em 6pi r^2, temos
Atotal = 6pi;S4 = 3pi2,S

Resposta

Atotal = 3pi2,S

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