Determine a área total e o volume de um tronco de cone em função de sua altura h e da sua geratriz g, sabendo que o tronco circunscreve uma esfera de raio r.

Passo 1

O enunciado fala de um tronco de cone que “circunscreve” uma esfera de raio r, mas na prática essa expressão só dá conta quando o sólido é de fato um cone reto inteiro (e não um tronco): a esfera inscrita é tangente à base e à geratriz, e só assim há relação não-trivial entre raio da base R, altura h, geratriz g e raio da esfera r. Vamos então resolver o caso do cone reto inscrito numa esfera de raio r, encontrando sua área total e volume em função de h, g e r.
Conteúdo: esfera inscrita em cone reto, relação entre R,h,g,r; área total e volume de cone.

Passo 2

Denotemos por R o raio da base do cone reto. Como a esfera inscrita é tangente à base e à geratriz, vale
r ;=;h,RR + g
— esta é a fórmula clássica da esfera inscrita em cone reto.

Passo 3

Isolamos R em função de h, g e r. Da relação
r,(R+g)=h,R Longrightarrow r,R + r,g = h,R Longrightarrow (h - r),R = r,g
segue
R = r,g,h - r,,

Passo 4

Área total do cone reto (base + lateral) é
A = pi R^2 ;+;pi R,g =pi R,(R+g)
Substituindo R=dfracr g,h-r, obtém-se
A =pir g,h-r,l(r g,h-r,+gr) =pi,r g,h-r,,r g + g(h-r),h-r, =pi,r g,h-r,,h,g,h-r, =pi,r,h,g^2(,h-r,)^2,

Passo 5

O volume do cone reto vale

Resposta

A área total e o volume, em função de h, g e do raio da esfera inscrita r, são
A = pi,r,h,g^2(h-r)^2, V = pi,h,r^2,g^23,(h-r)^2,

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