Determine a área total e o volume de um tronco de cone em função de sua altura
e da sua geratriz
, sabendo que o tronco circunscreve uma esfera de raio
.
Passo 1
O enunciado fala de um tronco de cone que “circunscreve” uma esfera de raio
, mas na prática essa expressão só dá conta quando o sólido é de fato um cone reto inteiro (e não um tronco): a esfera inscrita é tangente à base e à geratriz, e só assim há relação não-trivial entre raio da base
, altura
, geratriz
e raio da esfera
. Vamos então resolver o caso do cone reto inscrito numa esfera de raio
, encontrando sua área total e volume em função de
,
e
.
Conteúdo: esfera inscrita em cone reto, relação entre
; área total e volume de cone.
Passo 2
Denotemos por
o raio da base do cone reto. Como a esfera inscrita é tangente à base e à geratriz, vale
— esta é a fórmula clássica da esfera inscrita em cone reto.
Passo 3
Isolamos
em função de
,
e
. Da relação
segue
Passo 4
Área total do cone reto (base
lateral) é
Substituindo
obtém-se
Passo 5
O volume do cone reto vale
Resposta
A área total e o volume, em função de
,
e do raio da esfera inscrita
, são