Sendo h e g os comprimentos, respectivamente, da altura e da geratriz de um cone, calcule o volume da esfera circunscrita a esse cone.

Passo 1

O enunciado dá um cone circular reto de altura h e geratriz g. Precisamos encontrar o volume da esfera que passa pelo vértice do cone e por todos os pontos da circunferência da base (esfera circunscrita).

Passo 2

Primeiro relacionamos o raio r da base com h e g. Como a geratriz é a hipotenusa do triângulo reto formado por h e r,
r = raizg^2 - h^2

Passo 3

Colocamos o vértice do cone em (0,0,h) e a base no plano z=0. Seja O=(0,0,z0) o centro da esfera de raio R. Como a distância de O ao vértice e ao ponto genérico da borda da base devem ser iguais:
|z0 - h| = raizr^2 + z0^2
Elevando ao quadrado e simplificando,
(z0 - h)^2 = r^2 + z0^2 Longrightarrow z0 = h^2 - r^22h
O raio da esfera é então
R = |h - z0| = h - h^2 - r^22h = h^2 + r^22h = g^22h

Passo 4

O volume da esfera de raio R é
V = 43,pi,R^3 = 43,pi, l(g^22hr)^3 = 43,pi, g^68,h^3 = pi,g^66,h^3

Resposta

V = pi,g^66,h^3

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