Determine a área de um triângulo equilátero em função de sua altura h.

Passo 1

O enunciado pede a área de um triângulo equilátero em função da sua altura ,h. O conteúdo aqui é geometria plana: vamos usar a relação entre altura e lado de um triângulo equilátero e a fórmula geral da área de um triângulo.

Passo 2

Denotando por ,a o comprimento do lado, desenhando a altura nota-se que ela forma um triângulo retângulo com catetos ,h e tfraca2 e hipotenusa ,a. Pela relação de Pitágoras:
h^2 + l(a2r)^2 = a^2
Isso implica
h^2 + a^24 = a^2 Longrightarrow h^2 = a^2 - a^24 = 3a^24 Longrightarrow a = 2hraiz3

Passo 3

A área de qualquer triângulo é
A = basetimesa<ura2
No caso do equilátero, a base é ,a e a altura é ,h, logo
A = a,h2
Substituindo ,a = tfrac2hraiz3:
A = l(tfrac2hraiz3r),h2 = 2h^22raiz3 = h^2raiz3

Passo 4

Para apresentar a fórmula com radical racionalizado, observe que
1raiz3 = raiz33,
logo
A = h^2raiz3 = h^2raiz33

Resposta

A(h) = raiz33,h^2

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