Determine a área de um quadrado, sabendo que seu lado é segmento áureo do lado do quadrado inscrito, num círculo de raio 10 cm .

Passo 1

O enunciado pede a área de um quadrado cuja lado é o segmento áureo do lado do quadrado inscrito num círculo de raio 10 cm.
Conteúdo: geometria de círculos e quadrados inscritos, razão áurea.

Passo 2

Primeiro encontramos o lado do quadrado inscrito no círculo de raio 10 cm. A diagonal desse quadrado vale o diâmetro do círculo, isto é, 2cdot10=20 cm. Se chamamos de s o lado do quadrado inscrito, então
sraiz2=20
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s=20raiz2=10raiz2 cm

Passo 3

Agora dividimos esse segmento de comprimento s=10raiz2 pela razão áurea varphi. A razão áurea é
varphi=1+raiz52
Chamando de x o segmento áureo (a parte maior), temos
sx ;=;xs-x;=;varphi
Dessa igualdade segue
x=svarphi=10raiz2varphi

Passo 4

Esse valor x é o lado do quadrado que queremos. Sua área é
Área=x^2=l(tfrac10raiz2varphir)^2 =200varphi^2 Á
Como varphi^2=varphi+1=tfrac3+raiz52, temos
200varphi^2 =200cdot23+raiz5 =4003+raiz5
e, racionalizando o denominador,
4003+raiz5cdot3-raiz53-raiz5 =400(3-raiz5)9-5 =100,(3-raiz5)

Resposta

A área do quadrado é
100,(3-raiz5) cm^2

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