Determine a área de um quadrado, sabendo que seu lado é segmento áureo do lado do quadrado inscrito, num círculo de raio 10 cm .
Passo 1
O enunciado pede a área de um quadrado cuja lado é o segmento áureo do lado do quadrado inscrito num círculo de raio
.
Conteúdo: geometria de círculos e quadrados inscritos, razão áurea.
Conteúdo: geometria de círculos e quadrados inscritos, razão áurea.
Passo 2
Primeiro encontramos o lado do quadrado inscrito no círculo de raio
. A diagonal desse quadrado vale o diâmetro do círculo, isto é,
. Se chamamos de
o lado do quadrado inscrito, então
logo
Passo 3
Agora dividimos esse segmento de comprimento
pela razão áurea
. A razão áurea é
Chamando de
o segmento áureo (a parte maior), temos
Dessa igualdade segue
Passo 4
Esse valor
é o lado do quadrado que queremos. Sua área é
Como
, temos
e, racionalizando o denominador,
Resposta
A área do quadrado é