Determine a menor altura e a área de um triângulo de lados 5 m, 3 raiz5 m e 10 m .

Passo 1

O enunciado dá os comprimentos dos lados de um triângulo: A = raizs(s-a)(s-b)(s-c), , hell = 2Aell, e (em metros). Pede-se a área do triângulo e a menor das suas alturas. Para resolver, vamos usar a fórmula de Heron para achar a área e depois a relação entre área e altura,
onde é o semiperímetro e é o lado relativo à altura .

Passo 2

Calcular o semiperímetro s = a+b+c2 = 5 + 3raiz5 + 102 = 15 + 3raiz52 e as quantidades s - a = 15 + 3raiz52 - 5 = 5 + 3raiz52, s - b = 15 + 3raiz52 - 3raiz5 = 15 - 3raiz52, s - c = 15 + 3raiz52 - 10 = -5 + 3raiz52 , e .

Passo 3

Aplicar a fórmula de Heron e simplificar usando pares de fatores conjugados:
A^2 = s(s - a)(s - b)(s - c)
Agrupando em produtos conjugados:
15 + 3raiz52cdot15 - 3raiz52 = 225 - 454 = 1804 = 45,
5 + 3raiz52cdot-5 + 3raiz52 = 204 = 5
Logo
A^2 = 45 times 5 = 225 Longrightarrow A = 15 m^2

Passo 4

Calcular as alturas relativas a cada lado e identificar a menor. Como
ha = 2Aa, hb = 2Ab, hc = 2Ac,
temos
ha = 305 = 6 m, hb = 303raiz5 = 10raiz5 = 2raiz5approx4,47 m, hc = 3010 = 3 m
A menor altura corresponde ao maior lado, que é , logo é a menor.

Resposta

A menor altura vale e a área do triângulo é .

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