Determine a bissetriz do ângulo agudo definido pelas retas r : 4 x+3 y=0 e s: 6 x+8 y+1=0.

Passo 1

O enunciado pede a equação da bissetriz do ângulo agudo formado pelas retas
r:4x+3y=0 e
s:6x+8y+1=0.
O conteúdo é bissetriz de ângulo entre duas retas, e vamos usar a fórmula que iguala as distâncias de um ponto a cada reta, ou seja,
a1x+b1y+c1raiza1^2+b1^2 =pm a2x+b2y+c2raiza2^2+b2^2

Passo 2

Identificamos os coeficientes e seus comprimentos:
a1=4,;b1=3,;c1=0, raiza1^2+b1^2=raiz4^2+3^2=5,
a2=6,;b2=8,;c2=1, raiza2^2+b2^2=raiz6^2+8^2=10

Passo 3

Escrevemos a relação das bissetrizes:
4x+3y+05 =pm 6x+8y+110
Multiplicando ambos os lados por 10:
2(4x+3y)=pm(6x+8y+1)
Isso gera duas retas:
  1. para o sinal +:
8x+6y=6x+8y+1 Longrightarrow 2x-2y=1 Longrightarrow x - y = tfrac12
  1. para o sinal -:
8x+6y=-6x-8y-1 Longrightarrow 14x+14y=-1 Longrightarrow x + y = -tfrac114

Passo 4

Para escolher a bissetriz do ângulo agudo, usamos um ponto-teste que esteja no interior do ângulo agudo. Por exemplo, o ponto (1,0) satisfaz:
4cdot1+3cdot0=4>0, 6cdot1+8cdot0+1=7>0,
ou seja, as duas expressões têm o mesmo sinal, então devemos usar o sinal + na fórmula da bissetriz. Logo, a bissetriz aguda é
x - y = tfrac12

Resposta

x - y - tfrac12 = 0

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