Determine as características das seguintes matrizes:
d)
Passo 1
O enunciado fornece a matriz
A = 2 & 1 & -1 0 & 3 & 1 -1 & 2 & 1 4 & 1 & 1
que é uma aplicação linear de R^3 em R^4. Precisamos determinar suas características: ordem, posto (rank), nulidade, independência de colunas/linhas e propriedades de inversibilidade. Usaremos redução de linhas para achar o posto e, a partir daí, aplicar o Teorema do Posto e da Dimensão.
Passo 2
A matriz A tem 4 linhas e 3 colunas, isto é, ordem 4times3. Como não é quadrada, não podemos falar em determinante nem em inversa à direita, apenas em inversa à esquerda caso o posto seja igual a 3.
Passo 3
Calculamos o posto de A por eliminação de Gauss. Começamos com
2 & 1 & -1 0 & 3 & 1 -1 & 2 & 1 4 & 1 & 1
Fazendo
R3 >=ts 2R3 + R1 Rightarrow R3'=(0,5,1),
R4 >=ts 2R4 - 4R1 Rightarrow R4'=(0,-2,6),
obtemos
2 & 1 & -1 0 & 3 & 1 0 & 5 & 1 0 & -2 & 6
Agora usamos o pivô ,(2,2) em R2 para zerar abaixo:
onde vemos 3 linhas não nulas. Logo o posto de A é
rank(A)=3
Passo 4
Pelo Teorema do Posto e da Dimensão em R^3,
dim(ker A)=3-rank(A)=3-3=0,
ou seja, ker A=0 e as 3 colunas de A são linearmente independentes. O espaço coluna tem dimensão 3 e o espaço de linhas também tem dimensão 3.
Passo 5
Como rank(A)= número de colunas, A é de posto completo em colunas. Isso implica que a transformação é injetora (mas não sobrejetora, já que o contradomínio é R^4). Não existe inversa à direita, mas existe inversa à esquerda dada por
(A^T A)^-1A^T
Resposta
Ordem 4times3.
Posto rank(A)=3.
Nulidade dim(ker A)=0.
Colunas linearmente independentes, linhas independentes em número de 3.
Aplicação injetora (não sobrejetora), sem inversa à direita, com inversa à esquerda (A^TA)^-1A^T.
Cálculo - Gelson Iezzi, Samuel Hazzan - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol 4: Sequências, matrizes, determiantes e sistema - 8ª Edição - Capítulo 6.Exercícios - Ex. 429.d