Discuta o sistema:
x+2 y & =1 3 x+a y & =b

Passo 1

Temos o sistema linear em duas variáveis x e y com parâmetros a e b:
x + 2y = 1, 3x + a,y = b
O conteúdo aqui é a discussão de soluções de sistemas lineares: vamos usar o determinante da matriz de coeficientes e a regra de Cramer para identificar quando há solução única, infinitas soluções ou nenhuma solução.

Passo 2

Calculemos o determinante da matriz de coeficientes,
De<a = det1 & 23 & a = 1cdot a - 2cdot 3 = a - 6

Passo 3

Caso (isto é, ), o sistema admite solução única dada pela regra de Cramer. Primeiro, o determinante para :
Depois, o determinante para :
Logo,

Passo 4

Caso De<a = 0, isto é a = 6, as retas podem ser coincidentes ou paralelas. Multiplicando a primeira equação por 3, obtemos
3x + 6y = 3
Comparando com a segunda equação em a=6,
3x + 6y = b,
vemos que:
  • Se b = 3, as duas equações coincidem e há infinitas soluções.
  • Se b neq 3, as equações são contraditórias e não há solução.

Resposta

Se a neq 6, o sistema tem solução única
x = a - 2ba - 6, y = b - 3a - 6
Se a = 6 e b = 3, há infinitas soluções.
Se a = 6 e b neq 3, o sistema é incompatível (sem solução).

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